热门试卷

（1）

（2）略

（3）的取值范围是

解：（1）若数列是等差数列，则

由得即

解得，……………………4分

（2）由得

两式相减，得

所以数列是首项为，公差为4的等差数．

数列是首项为，公差为4的等差数列，

由

所以……………………6分

①当

 ……………………8分

②当为偶数时，

……………………10分

（3）由（2）知，

①当为奇数时，

由

令

当

解得……………………13分

②当为偶数时，

由

令

当时，

解得

综上，的取值范围是………………16分

存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列

证明：（1）易知成等差数列，故也成等差数列，

所以对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列．

（2）若成等差数列，则有，

即                                        …… ①

选取关于的一个多项式，例如，使得它可按两种方式分解因式，由于

因此令，可得    …… ②

易验证满足①，因此成等差数列，

当时，有且

因此为边可以构成三角形．

其次，任取正整数，假若三角形与相似，则有：

，据比例性质有：

所以，由此可得，与假设矛盾，

即任两个三角形与互不相似，

所以存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列．

（Ⅰ）证明见解析。

（Ⅱ）证明见解析。

（Ⅲ）证明见解析。

（Ⅰ），上为增函数

（Ⅱ）当时，,又由（Ⅰ）及时，,因此当时,              ①

下面运用数学归纳法可以证明                        ②

（ⅰ）由，，应用式①得当，即得当时，不等式②成立.

（ⅱ）假设当时，不等式②成立，即，则由①可得，即，故当时，不等式②成立

综合（ⅰ）（ⅱ）证得，

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，逐项递增，故若存在正整数，使得，则，否则若，则由知， ③由③知

于是

(1) an=3n (2)证明略(3)

(1)由An=(an－1)，可知An+1=(an+1－1)，

∴an+1－an= (an+1－an)，即=3，而a1=A1= (a1－1)，得a1=3，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，数列{an}的通项公式an=3n.

(2)∵32n+1=3·32n=3·(4－1)2n

=3·［42n+C·42n－1(－1)+…+C·4·(－1)+(－1)2n］=4n+3，

∴32n+1∈{bn}.

而数32n=(4－1)2n

=42n+C·42n－1·(－1)+…+C·4·(－1)+(－1)2n=(4k+1)，

∴32n{bn}，而数列{an}={a2n+1}∪{a2n}，∴dn=32n+1.

(3)由32n+1=4·r+3，可知r=，

∴Br=，

（1）=3

（2）

（3）由，

依次类推可得 

当时，的取值范围为等.

（1） ……2分 ……4分

（2） …… 6分

当时，. ……8分

（3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列.     ……10 分

研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围.……12分

研究的结论可以是：由，

依次类推可得 

当时，的取值范围为等.                       ……14分

（I）

（II）,

解：（Ⅰ）设的公差为，

则

（Ⅱ）

；

∵∴,由已知，

故，

∴数列的通项公式为.

；

（Ⅰ）由框图，知数列

∴ 

由框图，知数列中， ∴

∴ ∴数列是以3为首项，3为公比的等比数列

∴  ∴ 

（Ⅱ）=

=1×（3－1）+3×（32－1）+…+（2k－1）（3k－1）

=1×3+3×32+…+（2k－1）·3k－[1+3+…+（2k－1）]

记 1×3+3×32+…+（2k－1）·3k，①

则1×32+3×33+…+（2k－1）×3k+1 ②

①－②，得－2Sk=3+2·32+2·33+…+2·3k－（2k－1）·3k+1

=2（3+32+…+3k）－3－（2k－1）·3k+1

=2×

=

∴

又1+3+…+（2k－1）=k2

∴