等差数列_章节学习

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）

数列的前n项和为，且（）．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足：（），求数列的通项公式；

（Ⅲ）设（），是否存在实数，使得当时，恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．

正确答案

(1)

(2) （

(3) 存在实数，使得（）恒成立，且

解：（Ⅰ）当时，，

当时，，知满足该式，

∴数列的通项公式为． 2分

（Ⅱ）（） ①

∴（） ②

①－②得：（）．

∴（）， 4分

当时，，，满足上式．

∴数列的通项公式（） 6分

（Ⅲ）存在实数． 7分

，假设存在，使得（）恒成立，

∴，

∴

即， 8分

①当为正偶数时，即恒成立，

∴，

当时，，∴． 10分

②当为正奇数时，恒成立，

∴，

当时，，∴．

综上，存在实数，使得（）恒成立，且． 12分

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题型：简答题

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简答题

（满分14分）数列的前项和为，，．

（1）求。

（2）求数列的通项；

（3）求数列的前项和

正确答案

（1）

（2）

（3）

解：（1）…………………………………………………………3分

（2），，．

又，

数列是首项为，公比为的等比数列，．………．5分

当时，，

……………………………………………………．8分

（3），

当时，；

当时，，…………①

，………………………②

得：

．

．又也满足上式，

．…………………………………．…14分

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题型：简答题

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简答题

（本题14分）数列的首项。

（1）求证是等比数列，并求的通项公式；

（2）已知函数是偶函数，且对任意均有，当　时，，求使恒成立的的取值范围。

正确答案

（1）（2）

解：（1）

而

是首项为2公比为2的等比数列

即 ……………………………………………4分

（2）

……………………………………………8分

令

是递增数列，

当

……………………………………………12分

又

故的取值范围是………………14分

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题型：简答题

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简答题

设，...,，...是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y=x相切，对每一个正整数n,圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列.

(Ⅰ)证明：为等比数列；

（Ⅱ）设=1，求数列错误!不能通过编辑域代码创建对象。的前n项和.

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

已知Sn=1++…+,(n∈N*)，设f(n)=S2n+1－Sn+1,试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n，不等式:

f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立.

正确答案

∵Sn=1++…+. (n∈N*)

∴f(n+1)＞f(n)

∴f(n)是关于n的增函数

∴f(n) min=f(2)=

∴要使一切大于1的自然数n，不等式

f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立

只要＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2成立即可

由得m＞1且m≠2

此时设［logm(m－1)］2=t 则t＞0

于是　解得0＜t＜1

由此得0＜［logm(m－1)］2＜1

解得m＞且m≠2.

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题型：简答题

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简答题

各项均为正数的数列的前项和为，满足

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，

数列满足，数列的前项和为，求；

（3）若数列，甲同学利用第（2）问中的，试图确定的值是否可以等于2011？为此，他设计了一个程序（如图），但乙同学认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束），你是否同意乙同学的观点？请说明理由。

正确答案

（1）

（2）

（3）同意，理由略

解：（1）……………. 2分

，两式相减，得

…………… 4分

为等差数列，首项为2，公差为1……………. 5分

（2）是首项为2，公比为2的等比数列，…………… 7分

为偶数时，…………… 8分

…………… 10分

为奇数时， …………… 11分

…………… 12分

（3），

设…………… 13分

，…………… 15分

…………… 17分

乙同学的观点正确。…………… 18分

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简答题

（本小题共14分）

已知数列中，，设．

（Ⅰ）试写出数列的前三项；

（Ⅱ）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（Ⅲ）设的前项和为，求证：．

正确答案

（1），，

（2）

（3）略

解：（Ⅰ）由，得，.

由，可得，，. -------------------3分

（Ⅱ）证明：因，故

. ---------------------5分

显然，因此数列是以为首项，以2为公比的等比数列，

即. --------------------7分

解得. ---------------------8分

（Ⅲ）因为

,

所以

；

---------------------11分

又（当且仅当时取等号），

故

.

综上可得.--------------------14分

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）已知数列的首项，，…．

（Ⅰ）证明：数列是等比数列；

（Ⅱ）数列的前项和．

正确答案

（Ⅰ）同解析

（Ⅱ）数列的前项和．

解：（Ⅰ），，

，又，，

数列是以为首项，为公比的等比数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，．

设…， ①

则…，②

由①②得

…，

．又…．

数列的前项和．

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题型：简答题

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简答题

（本题满分13分）

在数列中，

（1）求的值；

（2）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；

（3）求数列。

正确答案

（1）-6，1（2）见解析（3）

（1）解：

2分

4分

（2）证明：

是首项为，

公比为-1的等比数列。 7分www

，

即

的通项公式为

所以当是奇数时，

10分

当是偶数时，

12分

综上， 13分

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题型：简答题

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简答题

已知二次函数y=f(x)在x=处取得最小值－ (t＞0),f(1)=0.

(1)求y=f(x)的表达式；

(2)若任意实数x都满足等式f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1［g(x)］为多项式，n∈N*),试用t表示an和bn；

(3)设圆Cn的方程为(x－an)2+(y－bn)2=rn2，圆Cn与Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各项都是正数的等比数列，记Sn为前n个圆的面积之和，求rn、Sn.

正确答案

(1) f(x)=x2－(t+2)x+t+1, (2) an=［(t+1)n+1－1］，bn=［1－(t+1n), (3) rn=, Sn=π(r12+r22+…+rn2)=［(t+1)2n－1］

(1)设f(x)=a(x－)2－，由f(1)=0得a=1.

∴f(x)=x2－(t+2)x+t+1.

(2)将f(x)=(x－1)［x－(t+1)］代入已知得:

(x－1)［x－(t+1)］g(x)+anx+bn=xn+1，

上式对任意的x∈R都成立，

取x=1和x=t+1分别代入上式得

且t≠0，

解得an=［(t+1)n+1－1］，bn=［1－(t+1n)

(3)由于圆的方程为(x－an)2+(y－bn)2=rn2，

又由(2)知an+bn=1，故圆Cn的圆心On在直线x+y=1上，

又圆Cn与圆Cn+1相切，故有rn+rn+1=｜an+1－an｜=(t+1)n+1

设{rn}的公比为q，则

②÷①得q==t+1，代入①得rn=

∴Sn=π(r12+r22+…+rn2)=［(t+1)2n－1］.

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