等差数列_章节学习

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题型：填空题

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填空题

在数列中，若，则称为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；

①若是等方差数列，则是等差数列；

②是等方差数列；

③若是等方差数列，则也是等方差数列；

④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列。

其中正确命题序号为。（将所有正确的命题序号填在横线上）

正确答案

①②③④

本题考查学生综合运用所学等差数列知识解决问题的能力

〖解答〗若是等方差数列，则，说明了是一个以为公差的等差数列，故①正确；

若，则，满足等方差数列的定义，故②正确；

若是等方差数列，，则于是，所以即，也是等方差数列，③正确；

由是等差数列，则（其中为常数），又是等方差数列得，即，将式代入得，从而有，由式可得，由于均为常数，则也为常数，即为常数列，故④正确.

所以正确命题的序号为①②③④

〖评注〗灵活运用等差数列的概念及性质是解决本问题的关键。

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题型：简答题

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简答题

⑴求数列的通项公式；

⑵设，若对恒成立，求实数的取值范围；

⑶是否存在以为首项，公比为的数列，，使得数列中每一项都是数列中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列的通项公式；若不存在，说明理由

正确答案

(1) (2) (3)

⑴因为，

所以．…………………………………………………………………………2分

因为，所以数列是以1为首项，公差为的等差数列．

所以．…………………………………………………………………………4分

⑵①当时，

．…………………………………………………………………………6分

②当时，

．…………………………………………8分

所以

要使对恒成立，

只要使．

只要使，

故实数的取值范围为．……………………………………………………10分

⑶由，知数列中每一项都不可能是偶数．

①如存在以为首项，公比为2或4的数列，，

此时中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以为首项，公比为偶数的数列．……………………………………………………………………………………12分

②当时，显然不存在这样的数列．

当时，若存在以为首项，公比为3的数列，．

则，，，．

所以满足条件的数列的通项公式为．……………………………16分

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题型：填空题

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填空题

数列{xn}满足：x1=1，x2=-1，且xn-1+xn+1=2xn（n≥2），则xn=______．

正确答案

∵xn-1+xn+1=2xn（n≥2），

∴数列是一个等差数列，

∵x1=1，x2=-1，

∴d=-1-1=-2

∴xn=x1+（-2）（n-1）=-2n+3

故答案为：-2n+3

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题型：填空题

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填空题

已知数列{an}是等差数列，若a4+a7+a10=17，a4+a5+a6+…+a13+a14=77，且ak=13，则k=______．

正确答案

∵a4+a7+a10=3a7=17，

∴a7=

又∵a4+a5+a6+…+a14=77，即a4+a14+a5+a13…+a9=77

∴11a9=77，即a9=7

∴数列{an}的公差d==

∴a9+（k-9）•d=13，

∴k=18

故答案为：18．

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题型：简答题

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简答题

已知函数，数列通项公式

为

数列满足，，设

（1）证明，并求数列前项和

（2）若（1）中的满足对任意不小于2的正整数，恒成立，求最大值

正确答案

（1）（2）5

所以

所以，

(2)，所以，数列为单调递增数列，所以

所以，即数列为单调递增数列，

且，对任意的不小于的正整数恒成立

所以，即，解得，所以最大值为

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题型：填空题

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填空题

设等差数列的前项和为，已知，，则

等差数列的公差d＝； .

正确答案

2 －2010

因为，则.

所以.由已知，即.

又，则，所以.

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题型：简答题

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简答题

设函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，有．

⑴求，判断并证明函数的单调性；

⑵数列满足,且

①求通项公式；

②当时，不等式对不小于的正整数恒成立，求的取值范围.

正确答案

⑴，⑵①，②的取值范围是

从已知得到递推关系式，再由等差数列的定义入手；恒成立问题转化为左边的最小值. ⑴，在上减函数（解法略）

⑵ ① 由单调性

，故等差数列

②

是递增数列

当时，

，即

而，∴，故的取值范围是

【名师指引】数列与函数、方程、不等式的综合问题，要注意将其分解为数学分支中的问题来解决.

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分10分）

已知等差数列{}中，求{}前n项和.

正确答案

：方法一：设的公差为，则

即解得

方法二：由和，所以或，余下的解答参考方法一.

因此

：已知数列的类型和两个独立的条件可以求出数列的首项和公差，然后代入前n项和公式就可以求出结果.

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题型：填空题

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填空题

等差数列{an}中，若a1+a2=20，a3+a4=120，则a8+a9=______．

正确答案

设公差为d，

∵a1+a2=20，a3+a4=120，

∴2a1+d=20，2a1+5d=120，

∴d=25，即得a1=-，

∴a8+a9=2a1+15d=2×（-）+15×25=370．

故答案为：370

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题型：填空题

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填空题

等差数列{an}的前n项和Sn，若，a5+a7-a10=8，a11-a4=4，则S13=______．

正确答案

设等差数列{an}的首项为a1，公差为d．

因为a5+a7-a10=8，a11-a4=4，

所以a1+d=8，d=，

解得a1=．

所以S13=a1×13+d=．

故答案为．

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