等差数列_章节学习

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题型：简答题

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简答题

,构造一个数列发生器，其工作原理如下：

输入数据,经数列发生器输出，若,则数列发生器结束工作，

若,则将反馈回输入端，再输出并依此规律继续下去，若输入时，产生的无穷数列满足，对任意正整数均有，求范围

正确答案

由或要使，则或

对于函数，若，则，

若，则且，依此类推，可得数列满足

此时，综上所述，取值范围是

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题型：简答题

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简答题

(12分)已知数列满足.

(1)求数列的通项公式. (2)求数列前项和.

正确答案

(1)

(2)

解.(1) ①

②…2分

由①-②得 ③ ……4分

在①中令有适合③式,故 ……5分

(2)设,其前n项和为,则

……6分

……7分

相减得 ……8分

……10分

……12分

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题型：简答题

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简答题

已知数列的前项和和通项满足（是常数且）。

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ) 当时，试证明；

(Ⅲ)设函数，，是否存在正整数，使对都成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

正确答案

（1）

（2）略

（3）1，2，3

解: (Ⅰ)由题意，，得∴ …………1分

当时，，

∴ ………………3分

∴数列是首项，公比为的等比数列，∴ ………4分

(Ⅱ)由（Ⅰ）知当时， …………………5分

∵，∴ …………………………………………………6分

即 …………………………………………………………………………7分

(Ⅲ)∵

＝

= ……………………9分

∵ ………………………………10分

∴＝ …12分

由得 -------()

∵()对都成立 ∴ ∵是正整数，∴的值为1,2,3。

∴使对都成立的正整数存在，其值为：1，2，3. …14分

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题型：简答题

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简答题

(本题14分) 已知等差数列的前项和为 ()

（1）求的值；

（2）若与的等差中项为18，满足，求数列的前项和

正确答案

（1）

（2）

（1） ………………2分

时，， ………………4分

又是等差数列，时，对亦成立，

………………7分

（2）由（1）得

，即 ………………10分

………………14分

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分1２分）已知数列的首项为，前项和为，且

（1）求证：数列成等比数列；

（2）令，求函数在点处的导数．

正确答案

（1）证明略；

（2）

由已知，可得两式相减得

即……………………………2分

从而…………………………………．4分

当时所以又所以

从而

故总有，又

从而即数列是等比数列；…………………………………5分

（II）由（I）知………………………………7分

因为所以

从而=

=-……………………………9分

=………………………………12分

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题型：简答题

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简答题

（本题满分14分）已知数列中，.

（1）求；（2）求的通项公式；（3）证明：

正确答案

（1）（2）

（1）， 1分

2分

（2）当为偶数时，

， 3分

4分

5分

当为奇数时，，

，，

6分

7分

当时，

当时，， 8分

或解：

1分

2分

当为偶数时： 4分

5分

当为奇数时： 6分

7分

所以 8分

或解：由 4分

证明当时成立 5分

假设当时， 6分

7分

对任意有 8分

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题型：填空题

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填空题

把形如的正整数表示成各项都是整数，公差为2的等差数列前项的和，称作“对的项分划”，例如：，称作“对9的3项分划”；称作“对64的4项分划”，据此对324的18项分划中最大的数是．

正确答案

35

略

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题型：填空题

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填空题

在等差数列中，若，则此数列的前项的和为．

正确答案

39

略

1

题型：简答题

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简答题

设等差数列满足，。

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）求的前项和及使得最大的序号的值。

正确答案

an=11-2n,n=5时，Sm取得最大值。

（1）由am = a1 +（n-1）d及a1=5，aw=-9得

解得

数列{am}的通项公式为an=11-2n。 ……..6分

(2)由(1) 知Sm=na1+d=10n-n2。

因为Sm=-(n-5)2+25.

所以n=5时，Sm取得最大值。 ……12分

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题型：简答题

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简答题

（14分）设集合W由满足下列两个条件的数列构成：

①

②存在实数M，使（n为正整数）

（I）在只有5项的有限数列

；试判断数列是否为集合W的元素；

（II）设是各项为正的等比数列，是其前n项和，证明数列；并写出M的取值范围；

（III）设数列且对满足条件的M的最小值M0，都有.

求证：数列单调递增.

正确答案

（I）不是集合W中的元素，是集合W中的元素.（II），且（III）见解析

（I）对于数列，

取显然不满足集合W的条件，①

故不是集合W中的元素， …………2分

对于数列，当时，

不仅有

而且有，

显然满足集合W的条件①②，

故是集合W中的元素. …………4分

（II）是各项为正数的等比数列，是其前n项和，

设其公比为q>0，

整理得

…………7分

对于

且

故，且 …………9分

（III）证明：（反证）若数列非单调递增，则一定存在正整数k，

使，易证于任意的，都有，证明如下：

假设

当n=m+1时，由

而

所以

所以，对于任意的

显然这k项中有一定存在一个最大值，不妨记为；

所以与这题矛盾.

所以假设不成立，故命题得证. …………14分

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