等差数列
共11217题

等差数列
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题型：填空题

填空题

设数列的首项，则

正确答案

略

题型：填空题

填空题

已知数列满足则数列的通项为。

正确答案

略

题型：简答题

简答题

已知a1=2，点（an，an+1）在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中n=1,2,3,…

（1）证明：数列{lg(1+an) }是等比数列.

（2）设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及数列{an}的通项.

（3）记bn=，数列{bn}的前n项和为Sn，求的值

正确答案

Tn=，

解：（1）由已知

∴ ……………………………………….2分

∵a1=2

∴ 两边取对数得 ……….3分

即 ∴是公比为2的等比数列 …..4分

（2）由（1）知

∴ ………………………………..7分

………………………………………..10分

（3）∵

∴ ….13分

又 ………..14分

∴

…………………………………………….16分

∵ ∴

∴ ………………………18分

题型：填空题

填空题

⑴已知为等差数列的前项和，，则；

⑵已知为等差数列的前项和，，则 .

正确答案

⑴1100，⑵

利用等差数列的有关性质求解.⑴；

⑵方法1：令，则

，，

；

方法2：不妨设

，

；

方法3：是等差数列，为等差数列

三点共线.

题型：填空题

填空题

设数列的前项和为，其中，为常数，且、、成等差数列．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设，问：是否存在，使数列为等比数列？若存在，求出的值；

若不存在，请说明理由．

正确答案

（Ⅰ）（Ⅱ）

（Ⅰ）依题意，得．于是，当时，有．

两式相减，得（）．

又因为，，所以数列是首项为、公比为3的等比数列．

因此，（）；

（Ⅱ）因为，所以．

要使为等比数列，当且仅当，即．

题型：简答题

简答题

数列{an}满足a1=2，an+1=-，求a2008。

正确答案

由an+1=-，得an+2=-=-=-.

an+3= -=-=an，故a2008=a669×3+1=a1=2。

题型：简答题

简答题

已知数列{an}有a1 = a，a2 = p（常数p > 0），对任意的正整数n，，且．

(1)求a的值；

(2)试确定数列{an}是否是等差数列，若是，求出其通项公式；若不是，说明理由；

(3)对于数列{bn}，假如存在一个常数b，使得对任意的正整数n都有bn< b，且，则称b为数列{bn}的“上渐近值”，令，求数列的“上渐近值”．

正确答案

（1）a = 0

（2）an

(3)数列的“上渐近值”为3

(1) 由知

∴ a =" 0 " ················ 3分

(2) 由 (1) ，时， 4分

∴

····················· 6分

显然an对a1，a2适合

∴ 数列{an}是以0为首项，p为公差的等差数列··········· 7分

(3) 由(2) ， 8分

∴ ·············· 10分

····················· 11分

∴ ····· 12分

∴数列的“上渐近值”为3·········· 13分

题型：简答题

简答题

设数列满足且

(Ⅰ)求,并求数列的通项公式；

(Ⅱ)对一切，证明成立；

(Ⅲ)记数列的前项和分别是，证明

正确答案

，，

解：（1），，……………………(2分)

由得……………………(3分)

即数列是以为首项，以为公比的等比数列

……………………(4分)

注：用数学归纳法也可以。

（2）

要证明只需证明

即证即证明成立……………………(6分)

构造函数……………………(7分)

则，……………………(8分)

当时，，即在上单调递减，所以

，即对一切都成立，

题型：简答题

简答题

(本小题满分12分)

设各项为正的数列的前项和为且满足：

(Ⅰ)求

(Ⅱ)求

(Ⅲ)设且求证：

正确答案

（1）a=n（2）（3）略

(Ⅰ) ∴

①-②得：

∴ 故为等差数列，又在①中令得

∴ ………………4分

(Ⅱ)

∴

………………8分

(Ⅲ) ∴ ………………9分

∴

………………11分

∴ 即 ……………………12分

题型：简答题

简答题

等差数列{an}中a3=7,a1+a2+a3=12，记为{an}的前n项和,令bn=anan+1,数列的前n项和为Tn.(1)求an和Sn；(2)求证：Tn<；(3)是否存在正整数m , n ，且11 , Tm , Tn成等比数列？若存在，求出m ,n的值，若不存在，说明理由.

正确答案

(Ⅰ) Sn= (Ⅱ) 略（Ⅲ）m=2,n=16

解（1）设数列的公差为，由

解得，="3 " …2分∴; ……3分 Sn= 4分

(2)

∴ ……………………… 6分

∴ = … 8分 …… 9分

(3)由(2)知， ∴，

∵成等比数列.∴ 即…… 11分

当m=1时，7，=1，不合题意；

当m=2时，，=16，符合题意；

当m=3时，，无正整数解；

当m=4时，，无正整数解；

当m=5时，，无正整数解；

当m=6时，，无正整数解；…… 14分(少讨论一个扣0.5分)

当m≥7时， ,

则，而，

所以，此时不存在正整数m,n,且7成等比数列.……15分

综上，存在正整数m=2,n=16,且1成等比数列.… 16分

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