等差数列
共11217题

等差数列
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题型：填空题

填空题

对于实数，用表示不超过的最大整数，如，．若为正整数，，为数列的前项和，则、__________．

正确答案

，

依题意可知，，，，，,

题型：简答题

简答题

已知．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）设为数列的前项和，求证：；

（Ⅲ）求证：．

正确答案

（Ⅰ）；（Ⅱ）、（Ⅲ）见解析。

解：（Ⅰ），所以

（Ⅱ）由得即

所以当时，于是

所以

（Ⅲ）当时，结论成立

当时，有

所以

题型：简答题

简答题

已知数列满足奇数项成等差数列，而偶数项成等比数列，且，成等差数列，数列的前项和为．

（1）求通项；

（2）求．

正确答案

（1）

（2）

（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，，解得．

于是，，即数列的通项

（2）于是当为偶数时，数列奇数项的和为，

偶数项的和为，故．

当为奇数时，．

于是

题型：简答题

简答题

三个不同的数成等差数列，其和为6，如果将此三个数重新排列，他们又可以成等比数列，求这个等差数列。

正确答案

，或

试题分析：可以先将成等差的这三个数设出来,设为，由和为，可求得，重新排列后，又成等比数列，根据等比中项分类讨论，可解.

试题解析：设成等差数列的这三个数为（,则，∴,这三个数为，

当为等比中项时：∴ (舍去),或,等差数列为：-4,2,8.

当为等比中项时：，∴ (舍去).

当为等比中项时：，∴ (舍去),或,等差数列为8,2，-4.

综上所述:等差数列为-4,2,8，或8,2，-4.

题型：简答题

简答题

已知数列是等差数列，且

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）令求数列前n项和的公式.

正确答案

（1）

（2）当时,；当时，

试题分析：(Ⅰ）解：设数列公差为，则又所以

（Ⅱ）解：令则由得

①

②

当时，①式减去②式，得

所以

当时,

综上可得当时,；当时，

点评：主要是考查了数列的求和的运用，以及等差数列的通项公式的运用，属于中档题。

题型：简答题

简答题

已知是等差数列，且

（1）求数列的通项公式及前项的和

（2）令，求的前项的和

正确答案

（1）（2）

试题分析：(1)由题意可知，

根据等差数列的前n项和公式可知

点评：错位相减法是高考中常考的一种求和方法，因为运算较为复杂，所以出错较多，要按照步骤仔细计算.

题型：填空题

填空题

若两个等差数列、的前项和分别为、，对任意的都

有，则

正确答案

试题分析：∵，∴

点评：熟练运用等差数列的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则＋＝＋＝2 (m，n，p，q，w都是正整数)，是解决此类问题的关键，属基础题

题型：填空题

填空题

在等差数列中，现从的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为（用数字作答）.

正确答案

．

由可得等差数列的通项公式为2，…，10）；由题意，三次取数相当于三次独立重复试验，在每次试验中取得正数的概率为，取得负数的概率为，在三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为

题型：填空题

填空题

（2013•重庆）已知{an}是等差数列，a1=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=　_________　．

正确答案

∵{an}是等差数列，a1，a2，a5成等比数列，

∴=a1•（a1+4d），又a1=1，

∴d2﹣2d=0，公差d≠0，

∴d=2．

∴其前8项和S8=8a1+×d=8+56=64．

故答案为：64．

题型：简答题

简答题

已知数列{}满足=1，=，（1）计算，，的值；（2）归纳推测，并用数学归纳法证明你的推测．

正确答案

an=，运用数学归纳法加以证明。

试题分析：解：（1）∵a1=1，an+1=，∴a2= a3==，a4==

（2）推测an=

证明：1°当n=1时，由（1）已知，推测成立。

2°假设当n=k时，推测成立，即ak= 则当n=k+1时，ak+1=====

这说明，当n=k+1时，推测成立。

综上1°．2°，知对一切自然数n，均有an=

点评：主要是考查了合情推理中的归纳推理的运用，结论不一定正确，需要加以证明。属于基础题。

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