热门试卷

（Ⅰ）．（Ⅱ）．

（Ⅲ），利用“放缩法”。

试题分析：（Ⅰ）因为．所以．   2分

令，得，即．          4分

（Ⅱ）

又                          5分

两式相加

．

所以，                                          7分

又．故数列是等差数列．         9分

（Ⅲ）

                        10分

                   12分

所以                                            14分

点评：中档题，本题具有较强的综合性，本解答从确定数列相邻项的关系入手，认识到数列的特征，利用“错位相消法”达到求和目的。“分组求和法”“裂项相消法”“错位相减法”是高考常常考到数列求和方法。（III）先将和式通过放缩利用“裂项相消法”实现求和，达到证明目的。

(1) S5＝3，S7＝1.

(2)根据已知的递推关系，然后结合整体的思想来分析得到，然后运用数学归纳法加以证明。

试题分析：解：（1）根据题意， 由于a1＝1，a2k＝－ak，a2k－1＝(－1)k+1ak，

故有 故可知S5＝3，S7＝1.        2分

（2）由题设的定义可知，对于每个正整数k，有

.                                                ①

.                                              ②       4分

则 ，③

.                     ④       6分

下面证明对于所有的n≥1，Sn≥0.

对于k，用数学归纳法予以证明.

当i＝1，2，3，4，即k=0时，S1＝1，S2＝0， S3＝1， S4＝2.

假设对于所有的i≤4k，Si≥0，则由①、②、③、④知，

S4k+4＝2Sk+1≥0，

S4k+2＝S4k≥0，

S4k+3＝S4k+2＋a4k+3＝S4k+2＋a4k+4＝S4k+2＋(S4k+4－S4k+3)，S4k+3＝≥0.

接下来证明：S4k+1≥0.

若k是奇数，则S4k＝2Sk≥2.

因为k是奇数，所以由题设知数列的各项均为奇数，可知Sk也是一个奇数. 于是

S4k≥2. 因此，S4k+1＝S4k＋a4k+1≥1.

若k是偶数，则a4k+1＝a2k+1＝ak+1. 所以S4k+1＝S4k＋a4k+1＝2Sk＋ak+1＝Sk＋Sk＋1≥0.

综上，对于所有的n≥1，Sn≥0.                                     10分

点评：解题的关键是通过具体的例子归纳猜想结论，结合数学归纳法加以证明，属于中档题。

试题分析：

解：（Ⅰ）由已知可得，所以，即，

∴数列是公差为1的等差数列.         4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，∴. .       7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，

所以，

，

相减得 ，

∴. .   .    .     .          12分

点评：

(1) ,；(2)令== 。

试题分析：（1）设数列的首项为,公差为.则根据题意得到，解得结论。

（2）由于，那么其倒数得到的通项公式可以裂项，进而求解结论。

解：(1)设数列的首项为,公差为.

∵

∴解得        (4分)

∴数列的通项公式为,(2分)

(2)令=

=           (6分)

点评：解决该试题的关键是设出数列的基本量，联立方程组，进而分析得到其通项公式，并利用裂项法求和得到结论。

（1）an＝（n³1）  （2）略

本试题主要是考查了数列的通项公式的求解和数列求和的综合运用。

（1）因为将条件变为：1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为1－＝，公比，从而1－＝，据此得an＝（n³1）

（2）据1°得，a1·a2·…an＝

为证a1·a2·……an<2·n！

只要证nÎN*时有>只要用数学归纳法证明即可。

(Ⅰ)因为数列是等比数列且

所以公比........................3分

  ....................6分

（Ⅱ）由(Ⅰ)知：

而数列是等差数列，

.....9分

....................12分

(Ⅰ)先求数列的公比，进一步利用定义求出数列的通项公式；（Ⅱ）先根据数列的项求出等差数列的通项公式，进一步利用求和公式求和。