等差数列
共11217题

等差数列
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题型：填空题

填空题

，，，先计算，后猜想得_

正确答案

略

题型：简答题

简答题

等差数列中，前项和为，且．则为何值时，最大？

正确答案

最大．

本题考查的是差差数列前项和是一个过原点的关于的二次函数．由已知条件，容易判断公差．因此，抛物线开口向下；设是抛物线与轴的另一个交点．则．则抛物线对称轴．因为应为应正整数，所以最大．

题型：填空题

填空题

如下图，对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”：

仿此，52的“分裂”中最大的数是___________，若m3的“分裂”中最小的数是211，则m的值为___________.

正确答案

9；15

52的“分裂”为其中最大的数为9，m3的分裂数的个数构成211为首项，2为公差且项数为m的等差数列，其m项的和即为m3，则，，，，故填9；15.

题型：填空题

填空题

若等差数列的公差且成等比数列，则。

正确答案

试题分析：根据题意，由于成等比数列，则可知，那么可知，故答案为

点评：本试题主要是考查了等差数列和等比数列的性质和通项公式的运用，属于基础题。

题型：填空题

填空题

已知命题：“若数列是等比数列，且，则数列也是等比数列，类比这一性质，等差数列也有类似性质：“若数列是等差数列，则数列________________也是等差数列.

正确答案

试题分析：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：

若数列{an}是等差数列，则数列bn=也是等差数列．

证明：设等差数列{an}的公差为d，

则bn==

=a1+(n-1)，

所以数列{bn}是以a1为首项，为公差的等差数列．

点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．等差数列与等比数列有很多地方相似，因此可以类比等比数列的性质猜想等差数列的性质，因此几何平均数与算术平均数正好与等比数列的二级运算及等差数列的一级运算可以类比，因此我们可以大胆猜想，数列bn=也是等差数列．

题型：简答题

简答题

各项均为正数的数列前项和为,且.

(1)求数列的通项公式;

(2)已知公比为的等比数列满足，且存在满足,,求数列的通项公式.

正确答案

(1) ；(2)或.

试题分析：(1)，

两式相减得：，（2分）

即，（4分）

为首项为1，公差为2的等差数列，故（6分）

(2)，依题意得，相除得（8分）

，代入上式得q=3或q=7，（10分）

或. （12分）

点评：中档题，利用的关系确定数列的通项公式，是常见题型，注意讨论n=1是否适合。

题型：简答题

简答题

（本题满分14分）设数列满足．

（I）求数列的通项；

（II）设，求数列的前项和．

正确答案

（1）；（2）

（Ⅰ）

验证时也满足上式，

（Ⅱ），

，

题型：简答题

简答题

若公比为的等比数列的首项且满足．

（Ⅰ）求的值．（Ⅱ）求数列的前项和．

正确答案

（Ⅰ）或（Ⅱ）

（Ⅰ）解：由题设，当时，，，

．

由题设条件可得，因此，即．

解得或．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），需要分两种情况讨论．当时，数列是一个常数列，即．

这时，数列的前项和．

当时，数列是一个公比为的等比数列，

即．这时，数列的前项和

．　①

①式两边同乘，得．　　②

① 式减去②式，得

．

所以．

题型：简答题

简答题

设数列{}的前n项和为，若（t为正常数，n=2,3，4…）.

(1)求证：{}为等比数列；(2)设{}公比为，作数列使，试求，并求

正确答案

，

（1）

，相减得（常数）

又当，

，，

故{}为等比数列；

（2），故{}为等差数列，，

所以，

故.

题型：简答题

简答题

（本小题满分12分）数列中，，，

（1）若数列为公差为11的等差数列，求；

（2）若数列为以为首项的等比数列，求数列的前m项和

正确答案

（1）（2）

（1）依题意，得解得：

（2）解得：从而，∴

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