等差数列_章节学习

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题型：填空题

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填空题

等差数列中，a1＞0，d≠0，S3=S11，则Sn中的最大值是。

正确答案

S7

试题分析：解：∵S11-S3=a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10+a11=4（a7+a8）=0，∴a7+a8=0，又a1＞0，∴数列{an}为递减数列，∴a7=-a8＞0，a8＜0，∴数列的前7项全为正数，从第8项起，以后各项均为负数．∴当n=7时Sn取得最大值．故Sn中的最大值是S7。

点评：本题考查数列前n项的和的定义，数列的函数性质．是基础题

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题型：填空题

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填空题

当为正整数时，定义函数表示的最大奇因数．如，，…．记．则．（用来表示）

正确答案

试题分析：由N（x）的性质可得知，当x是奇数时，x的最大奇数因子明显是它本身．因此N（x）=x,因此，我们就可将进行分解，分别算出奇数项的和与偶数项的和进而相加，即，

所以=N（1）+N（3）+…+N（）=1+3+…+= 。

当x是偶数时，且x∈[）

①当k=1时，x∈[2，4）该区间包含的偶数只有2，而N（2）=1所以该区间所有的偶数的最大奇因数之和为；

②当k=2时，x∈[4，8），该区间包含的偶数为4，6，所以该区间所有的最大奇因数偶数之和为

③当k=3时，x∈[8，16），该区间包含的偶数为8，10．，12，14，则该区间所有偶数的最大奇因数之和为，因此我们可以用数学归纳法得出当x∈[）该区间所有偶数的最大奇因数和

∴对k从1到n-1求和得

，

综上知：。

点评：本题主要考查了数列的求和问题．考查了学生通过已知条件分析问题和解决问题的能力．

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题型：填空题

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填空题

在等差数列中，，前项和为，则= .

正确答案

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试题分析：。

点评：在等差数列中，。

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题型：填空题

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填空题

已知等差数列中,成等比数列，则 .

正确答案

试题分析：根据题意，由于等差数列中,成等比数列，则有，故可知，故答案为

点评：本试题主要是考查了等差数列和等比数列的通项公式的运用，属于基础题。

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题型：简答题

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简答题

设数列、满足，，，．

（1）证明：，（）；

（2）设，求数列的通项公式；

（3）设数列的前项和为，数列的前项和为，数列的前项和为，求证：．

正确答案

（1），两式相乘得，为常数列，；；

（2）；（3）由可以知道，，

．又，故，

所以．

试题分析：（1），两式相乘得，为常数列，；（2分）

；

（若，则，从而可得为常数列与矛盾）； 4分

（2），

又因为，为等比数列， 8分

（3）由可以知道，，

令，数列的前项和为，很显然只要证明，

．

因为，

所以

所以． 14分

又，故，

所以． 16分

点评：本题考查不等式的证明和数列的通项公式的求法，综合性强，难度大，是高考重点，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

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题型：简答题

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简答题

（本题12分）

已知数列的前项和满足，等差数列满足，。

（1）求数列、的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，问>的最小正整数是多少?

正确答案

（1），。（2）101.

试题分析：（1）当时，，∴ …………1分

当时，，即

∴数列以为首项，为公比的等比数列，∴…3分

设的公差为，，∴

∴ ………………………………6分

（2）…………………………8分

∴……10分

由>，得>，解得>所以正整数是………12分

点评：我们要熟练掌握求数列通项公式的方法。公式法是求数列通项公式的基本方法之一，常用的公式有：等差数列的通项公式、等比数列的通项公式及公式。此题的第一问求数列的通项公式就是用公式，用此公式要注意讨论的情况。

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题型：简答题

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简答题

（本题满分12分）已知数列的首项，，…．

（Ⅰ）证明：数列是等比数列；

（Ⅱ）求数列的前项和．

正确答案

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

试题分析：（Ⅰ），，，又，，数列是以为首项，为公比的等比数列． …………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即， ……………6分

．设…， ① ……8分

则…，② ……………………9分

由①②得…，…………10分

．又…． …………11分

…………12分

点评：一般数列构造成等差等比新数列求解

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分14分）已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列

（1）求通项公式

（2）设，求数列的前项和

正确答案

⑴；⑵或

试题分析：(1) 由等差数列的前四项和为10，且成等比数列,可建立关于a1和d的方程，求出a1和d的值，进而得到其通项公式；

（２）再（１）的基础上，可求出或，当时，直接根据等比数列的前n项和公式直接求出其前n项和.当时，它是常数列，显然和易求．

⑴由题意知

所以

⑵当时，数列是首项为、公比为8的等比数列

所以

当时，所以

综上，所以或

点评：本小题用到的公式有：(1)等差数列的前n项和公式：;（２）等比数列的前n项和公式：.

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题型：填空题

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填空题

数列的通项公式为，则该数列的前100项和为_________.

正确答案

试题分析：因为=，所以S100=.

点评：常见的裂项公式：，，，，，。

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题型：简答题

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简答题

(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和，,且Sn的最大值为8.

（1）确定常数k的值，并求通项公式an；

（2）求数列的前n项和Tn。

正确答案

（1）；（2）。

本试题主要是考查了数列了通项公式与前n项和的关系式的运用。

（1）因为当时，，则，对于n 令值，得到结论。

（2）因为，因此要运用错位相减法求解数列的和。

解：（1）当时，，则，；2分

当时，

当时，。

所以……………………6分

（2）∵

……(1)

……(2)

(1)-(2)：

∴………………………12分

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