等差数列_章节学习

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分15分）已知数列中，．

（Ⅰ）求证：数列（）均为等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）若数列的前项和为，不等式对恒成立，求的最大值．

正确答案

(Ⅰ)略 (Ⅱ)（Ⅲ）－48

：（1）∵，∴

∴数列是以1为首项，为公比的等比数列；

数列是以为首项，为公比的等比数列。

（2）

（3）

当且仅当时取等号，所以，即，

∴的最大值为－48

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题型：简答题

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简答题

设是正项数列的前n项和且

（1）求（2）

正确答案

（1）（2）

（1）当

即

又

是以2为首项，1为公差的等差数列

（2）

④－③及

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题型：简答题

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简答题

已知数列{an}的首项为1，f(n)=a1+a2+…+ak+…+an（n∈N+）．

（1）若{an}为常数列，求f（4）的值；

（2）若{an}为公比为2的等比数列，求f（n）的解析式；

（3）数列{an}能否成等差数列，使得f（n）-1=（n-1）2n对一切n∈N+都成立．若能，求出数列{an}的通项公式；若不能，试说明理由．

正确答案

（1）∵{an}为常数列，且首项为1，故有an=1，

∴f（4）=+++=15．

（2）若{an}为公比为2的等比数列，则an=2n-1，（n∈N+）．

f(n)=a1+a2+…+ak+…+an=+21+…+2k-1+…+2n-1，

故1+2f（n）=1++22+…+2k+…+2n=（1+2）n=3n，

∴f（n）=．

（3）假设数列{an}能否成等差数列，使得f（n）-1=（n-1）2n对一切n∈N+都成立．

设公差为d，则 f(n)=a1+a2+…+ak+…+an ①，

且 f(n)=an+an-1+…+an-k+…+a1 ②，

把①、②相加可得 2f（n）=2an+（a1+an-1）（+++…+）

∴f（n）=an+（+++…+）

=an+（2n-2）=1+（n-1）d+[2+（n-2）d]（2n-1-1）．

∴f（n）-1=（d-2）+[2+（n-2）d]]•2n-1=（n-1）2n 恒成立．

即（d-2）+（d-2）•[n+2]•2n-1=0 n∈N+都成立，∴d=2，

故存在数列{an}使得f（n）-1=（n-1）2n对一切n∈N+都成立，且通项公式为an=2n-1．（其它方法相应给分）

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题型：填空题

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填空题

已知函数f（x）=2x，等差数列{ax}的公差为2，若f（a2+a4+a6+a8+a10）=4，则log2[f（a1）·f（a2）·f（a3）·…·f（a10）]=（）。

正确答案

-6

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题型：简答题

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简答题

已知函数f(x)=(x-a)2(x-b)(a，b∈R，a＜b)，

(Ⅰ)当a=1，b=2时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

(Ⅱ)设x1，x2是f(x)的两个极值点，x3是f(x)的一个零点，且x3≠x1，x3≠x2，证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4。

正确答案

解：(Ⅰ)当a=1，b=2时，因为f′(x)=（x-1）（3x-5），

故f′(2)=1，

又f(2)=0，

所以f(x)在点(2，0)处的切线方程为y=x-2．

(Ⅱ)证明：因为，

由于a＜b，故，

所以f（x）的两个极值点为，

不妨设，

因为x3≠x1，x3≠x2，且x3是f(x)的零点，故x3=6，

又因为，，

此时依次成等差数列，

所以存在实数x4满足题意，且。

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=x3+3bx2+cx+d在（-∞，0）上是增函数，在（0，2）上是减函数，且f（x）=0的一个根为-b，

（Ⅰ）求c的值；

（Ⅱ）求证：f（x）=0还有不同于-b的实根x1、x2，且x1、-b、x2成等差数列；

（Ⅲ）若函数f（x）的极大值小于16，求f（1）的取值范围。

正确答案

解：（Ⅰ），

x=0是极大值点，，

∴c=0；

（Ⅱ）令，

由f（x）的单调性知，

∵-b是方程f（x）=0的一个根，

则，

，

方程的根的判别式，

又，

即-b不是方程的根，

∴f（x）=0有不同于-b的根，

，

∴成等差数列。

（Ⅲ）根据函数的单调性可知，x=0是极大值点，

，

∴，

令，

求导，

，

∴上单调递减，

∴，即。

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题型：简答题

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简答题

已知数列{an}满足a1=2，an+1=

2an-1

an

(n∈N+)

（1）证明{}为等差数列，并求an；

（2）若cn=(an-1)•()n，求数列{cn}中的最小值．

（3）设f(n)=（n∈N+），是否存在m∈N+使得f（m+15）=5f（m）成立？

正确答案

（1）由题意可得：an+1-1=-1=，

所以 ==1+…（2分）

所以 {}是首项为=1，公差为1的等差数列，

并且 =1+(n-1)×1=n，

所以可得：an=1+…（4分）

（2）由（1）可得：cn=×()n，根据题意设{cn}中最小者为cm

所以有，即 …（6分）

解得 …（8分）

所以{cn}中最小值为c7=c8=…（9分）

（3）由已知得f(n)=…（10分）

①当m为奇数时，m+15为偶数，则有f（m+15）=5f（m），

所以由题意可知：3（m+15）+2=5（m+5），解得 m=11…（12分）

②当m为偶数时，m+15为奇数，则有（m+15）+5=5（3m+2），所以解得m=（舍去），

故存在m=11使得等式成立…（13分）

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=log2（x+m），m∈R

（ I）若f（1），f（2），f（4）成等差数列，求m的值；

（ II）若a、b、c是两两不相等的正数，且a、b、c依次成等差数列，试判断f（a）+f（c）与2f（b）的大小关系，并证明你的结论．

正确答案

（1）因为f（1），f（2），f（4）成等差数列，所以2f（2）=f（1）+f（4），

即：2log2（2+m）=log2（1+m）+log2（4+m），即log2（2+m）2=log2（1+m）（4+m），得

（2+m）2=（1+m）（4+m），得m=0．

（2）若a、b、c是两两不相等的正数，且a、b、c依次成等差数列，

设a=b-d，c=b+d，（d不为0）；

f（a）+f（c）-2f（b）=log2（a+m）+log2（c+m）-2log2（b+m）=log2

因为（a+m）（c+m）-（b+m）2=ac+（a+c）m+m2-（b+m）2=b2-d2+2bm+m2-（b+m）2=-d2＜0

所以：0＜（a+m）（c+m）＜（b+m）2，

得0＜＜1，得log2＜0，

所以：f（a）+f（c）＜2f（b）．

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题型：简答题

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简答题

如图，在平面直角坐标系xoy中，设点F(0,p)（p＞0），直线l:y=-p，点P在直线l上移动，R是线段PF与x轴的交点, 过R、P分别作直线l1、l2，使l1⊥PF，l2⊥l ．

（Ⅰ）求动点Q的轨迹C的方程；

（Ⅱ）在直线l上任取一点M做曲线C的两条切线，设切点为A、B，求证：直线AB恒过一定点；

（Ⅲ）对（Ⅱ）求证：当直线MA,MF,MB的斜率存在时，直线MA,MF,MB的斜率的倒数成等差数列．

正确答案

解：(Ⅰ)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，

∴RQ是线段FP的垂直平分线．

∴|PQ|=|QF|．

故动点Q的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为：．

（Ⅱ）设，两切点为，

由得，求导得．

∴两条切线方程为 ①

②

对于方程①，代入点M(m,-p)得，，

又∴

整理得：

同理对方程②有即x1,x2为方程的两根

.∴ ③

设直线AB的斜率为k，

所以直线AB的方程为，

展开得：，

代入③得：

∴直线恒过定点(0.p).

(Ⅲ) 证明：由（Ⅱ）的结论，设（0.p），，且有，

∴

=

又∵，

所以即直线MA,MF,MB的斜率倒数成等差数列.

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=x2-ax+ln（x+1）（a∈R）

（1）当a=2时，求函数f（x）的极值点；

（2）若函数f（x）在区间（0，1）上恒有，求实数a的取值范围；

（3）已知c1>0，且，在（2）的条件下，证明数列{cn}是单调递增数列。

正确答案

解：（1）当a=2时，f（x）=x2-2x+ln（x+1），则

令=0得时

，所以，函数f（x）的极大值点为x=-，极小值点为x=

（2）因为，由得，即

又y=x+（当且仅当x=0时，等号成立），

∴ymin=1，∴a≤1

（3）①当n=1时，

又∵c1<0,∴c1+1>1，且a≤1，函数y=2x+当x∈（1，+∞）时单调递增，

∴

=，即当n=1时结论成立；

②假设当n=k（k∈N+）时，有，且，则当n=k+1时，

又，∴，且a≤1，∴

∴，即当n=k+1时结论成立。由①，②知数列{cn}是单调递增数列。

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