热门试卷

（Ⅰ）由已知可得=(-y+sinxcosx)+(+sin2x)

∵A、B、C三点共线，∴-y+sinxcosx++sin2x=1----------------------------------------，（2分）

则y=sinxcosx+sin2x-=sin2x-cos2x=sin(2x-)

∴f(x)=sin(2x-)--------------------------------（4分）

（Ⅱ）可得函数g(x)=f(x+)=sin[2(x+)-]=sin(x+)=cosx，x∈[0，]-----（5分）

设函数g（x）的图象与直线y=b的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，且0≤x1＜x2＜x3≤，

由已知，有x1+x3=2x2，另一方面，结合图象的对称性有=π，=2π--------------------（7分）

∴x1=2π-x2，x3=4π-x2，代入x1+x3=2x2，解得x2=------------（8分）

再代入g（x）=cosx，得g（x2）=cos=0，所以b=0------------------（9分）

（Ⅲ）不等式h（x1）≤f（x2）恒成立，只需要h（x）max≤f（x）min即可------------（10分）

令t=sinx+cosx=sin(x+)，则t2=1+2sinxcosx=1+sin2x，∴sin2x=t2-1

又t=sinx+cosx=sin(x+)，x∈[0，]，则t∈[1，]

函数h（x）转化为y=t+t2-1-a=(t+)2-a-，t∈[1，]，

当t=时，函数取得最大值h（x）max=3-a-----------------------------------（12分）

又f(x)=sin(2x-)在x∈[0，]上的最小值为f(x)min=-------------------（13分）

由h（x）max≤f（x）min得3-a≤-即a≥，

故实数a的取值范围是[，+∞)--------14分

（1）∵A，B，C成等差数列，∴B=60°

∵b=，a=1，∴由余弦定理可得3=1+c2-2ccos60°

即c2-c-2=0

∴c=2或c=-1（舍去）

（2）由已知sinA+sinC=sinA+sin（π-B-A）=sinA+sin（-A）

=sinA+cosA+sinA=sin（A+）≤

当△ABC为正三角形时取等号，此时sinA+sinC的最大值．

解：（1）由角B，A，C成等差数列以及三角形内角和公式知A=60°．

又由a2﹣c2=b2﹣mbc可以变形得 =．

再由余弦定理可得 cos A==，

∴m=1．

（2）∵cos A==，

∴bc=b2+c2﹣a22bc﹣a2，即bca2，

故S△ABC =sin A×=，

∴△ABC面积的最大值为．

（Ⅰ）证明：∵cos（A+C）+cos（A-C）=cosAcosC-sinAsinC+cosAcosC+sinAsinC=2cosAcosC，

两边同时除以2可得cosAcosC=[cos(A+C)+cos(A-C)]．

（Ⅱ）在锐角△ABC中，因为A、B、C成等差数列，所以B=60°，A+C=120°．

又=2cosAcosC=cos（A+C）+cos（A-C）=-+cos(A-C)，

==，

∴-+cos(A-C)=，∴cos(A-C)=．

∵-900＜A-C＜900，A+C=120°，故有 A-C=±30°，sin750=，

当A＜C时，A=45°，C=75°，此时=＞=1，所以a+b＞c．

当A＞C时，A=75°，C=45°，=＞1，所以a+b＞c，

综合得 a+b＞c．

（1）∵f（x）=81n（1+ex）-9x，

∴f(x1)+f(x2)-2f()=8[1n(1+ex1)-9x1+1n(1+ex2)-9x2-21n(1+ex1+x22)+9(x1+x2)]

=8[1n(1+ex1)(1+ex2)-1n(1+ex1+x22)2] 

=8[1n(1+ex1+ex2+ex1+x2)-1n(1+2•ex1+x22+ex1+x2)]．

∵x1≠x2，∴ex1+ex2＞2=2•ex1+x22，∴f(x1)+f(x2)-2f()＞0，

∴f()＜．

（2）∵f′（x）=-9=＜0恒成立，∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，

设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），且x1＜x2＜x3．

∴f（x1）＞f（x2）＞f（x3），x2=，

∴•=(x1-x2)(x3-x2)+[f(x1)-f(x2)]•[f(x3)-f(x2)] 

∵x1-x2＜0，x3-x2＞0，f（x1）-f（x2）＞0，f（x3）-f（x2）＜0，∴•＜0，

故B为钝，△ABC为钝角三角形．  若△ABC是等腰三角形，则只可能是=|，

即（x1-x2）2+[f（x1）-f（x2）]2=（x3-x2）2+[f（x3）-f（x2）]2

∵x2=，∴有[f（x1）-f（x2）]2=[f（x3）-f（x2）]2，∴f（x1）-f（x2）=f（x2）-f（x3），

即：f（x2）=

即：f()=，这与（1）结论矛盾，∴△ABC不能为等腰三角形．

（1）△ABC的边b=，它的三个内角A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，再由三角形的内角和公式求得B=，A+C=．

又函数f（x）=2sin2x+2sinxcosx一=2•+sin2x-=-cos2x+sin2x=sin（2x-），

故有正弦函数的定义域和值域可得函数f（x）的值域为[-2，2]，且最小正周期为 =π．

（2）由于函数f（x）在x=A处取得最大值，故有sin（2A-）=1，∴2A-=，A=，故C=．

再由正弦定理可得 =，求得c=，∴△ABC的面积为 bc•sinA=×××sin（+）

=（ ×+×）=．