热门试卷

解：（1）由，得，

即，

∴是等差数列，

∴，∴。

（2）由，得；

，得；

，得，

，

∴当k同时满足三个不等式时，。

（3）由，得恒成立，

令，

则，

，

∴，

∵F（n）是关于n的单调增函数，

∴，

∴。

解：（Ⅰ）由题设知可化为

，

∵y=f(x)是定义在R上的单调减函数，

∴，即，

∴数列是以为首项，1为公差的等差数列，

∴，

即n=。

（Ⅱ）Sn=a1+a2+a3+···+an =4(1+31+32+···+3n-1)=2(3n-1) ，

当n=1时，有Sn=6n2-2=4；

当n=2时，有Sn=16<6n2-2=22；

当n=3时，有Sn=6n2-2=52；

当n=4时，有Sn=160>6n2-2=94；

当n=5时，有Sn=484>6n2-2=148。

由此猜想当n≥4时， 有Sn>6n2-23n-1>n2，

下面用数学归纳法证明：

①当n=1时显然成立；

②假设当n=k(k≥4，k∈N*)时， 有3k-1>k2；

当n=k+1时，有3k=3·3k-1>3k2，

∵k≥4，

∴k(k-1)≥12， ∴3k2-(k-1)2=2k(k-1)-1>0即3k2>(k+1)2，

∴3k>3k2>(k+1)2， ∴3k>(k+1)2，因此当n=k+1时原式成立。

由①②可知，当n≥4时有3n-1>n2，

即Sn>6n2-2，

综上可知当n=1，3时，有Sn=6n2-2；当n=2时，有Sn<6n2-2；当n≥4时，有Sn>6n2-2。

解：（1）∵，

∴，

∵a-c=2c，

∴；

（2）设PF1的直线方程为y=k（x+c），

∵，

∴，

∴b-kc=2kc，

∴b=3kc，

∵a=3c，

∴b=2c，

∴k=。

（3）设=t，

则，

∵P在第一象限，

∴，，

∴，

∴2t=，

∴，

∴。

∴，

∴，

∴，

又由已知，

∴，

∴

（令m=6e-1，∴）

，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴。

解：（1）由已知得F（0，1），显然直线AB的斜率存在且不为0，

可设直线AB的方程为：y=kx+1（k≠0），，

由得，显然△＞0，

∴，

由得，

∴，直线AM的斜率为，

直线AM的方程为直线，

化简得AM的方程为，

同理可得直线BM的方程为，

两式相减得，即A、M、B三点的横坐标成等差数列。

（2）由（1）知y=-1，点M的坐标为（2k，-1），，

则直线MF的方程为：，

设，由得：，显然△＞0，

∴，∴，，

，

∴AB⊥AC，

，

当且仅当k=±1时，四边形ACBD的面积有最小值32。

解：（1）由题意设

由得，则

所以

因此直线MA的方程为　　　　　　　　

直线MB的方程为

所以 ①

②

由①、②得　　

因此，即

所以A、M、B三点的横坐标成等差数列。

（2）解：由（1）知，当x0=2时，将其代入①、②并整理得：

 ，

所以，x1、x2是方程的两根，

因此

又

所以

由弦长公式得

又，

所以p=1或p=2，

因此所求抛物线方程为或。

（3）解：设D（x3，y3），由题意得C（x1+ x2，y1+ y2），

则CD的中点坐标为 　

设直线AB的方程为 　

由点Q在直线AB上，并注意到点也在直线AB上，

代入得 　

若D（x3，y3）在抛物线上，则

因此，x3=0或x3=2x0即D（0，0）或

（i）当x0=0时，则，此时，点M（0，-2p）适合题意；

（ii）当，对于D（0，0），此时

又，AB⊥CD，

所以

即矛盾

对于，因为此时直线CD平行于y轴，

又

所以，直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，

所以时，不存在符合题意的M点

综上所述，仅存在一点M（0，-2p）适合题意。