热门试卷

解：（1）记P（x，y），由M（-1，0），N（1，0）得

，

∴，

于是，是等差小于零的等差数列等价于

，即，

所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆。

（2）点P的坐标为，

，

，

∴，

，

∴，

。

解：（1）在中，令n=1，可得，

，即

当时，，

∴

∴

即

∵

∴

即当时，

又

∴数列是首项和公差均为1的等差数列

于是

∴。

（2）由（1）得，

所以 ①

 ②

由①-②得

∴

∴

于是确定的大小关系等价于比较的大小

由 

可猜想当时，证明如下：

（i）当n=3时，成立。

（ii）假设时

所以当时猜想也成立

综合（i）（ii）可知 ，对一切的正整数，都有

∴＞0

解：(1)∵nan-Sn=2n(n-1)，a1=1，

∴n=2时，a2=5，

当n≥2时，，

∴，

即，

∴，

∴数列{an}是首项为1，公差为4的等差数列，

故an=4n-3(n∈N*)。

(2)∵4bn=Sn+n-1+(-1)n(n∈N*)，

∴4bn=2n2-1+(-1)n(n∈N*)，

∴，故，

当n为大于0的偶数时，，

当n为大于1的奇数时，，

①；

②n＞1，且n∈N*时，若n为偶数，

则；

若n为奇数，

则，

∴，

∴。

证明：（Ⅰ），

∴数列{bn}为等差数列。

（Ⅱ）因为，

所以，

原不等式即为证明，

即成立，

用数学归纳法证明如下：

当n=2时，成立，所以n=2时，原不等式成立；

假设当n=k时，成立，

当n=k+1时，

，

所以当n=k+1时，不等式成立；

所以对n∈N*，n≥2，总有成立。

解：（1）∵k=1，

∴，

∴，

即：，

所以，n＞1时，{an}成等差，而a2=2，，

∴，∴。

（2）由题意：，

，

，

，

当n≥5时，由（1）（2）得：，

由（3）（4）得：，

由（1）（3）得：，

由（2）（4）得：，

由（7）（8）知：成等差，成等差；

设公差分别为：d1，d2，

由（5）（6）得：，

，

由（9）（10）得：，

∴{an}（n≥2）成等差，设公差为d，

在（1）（2）中分别取n=4，n=5得：

，即，

，即，

∴，∴。

解：(Ⅰ)①由，得，

，

即，

又，

所以，数列{cn}是以2为首项，1为公差的等差数列。

②，

。

(Ⅱ)因为Sn=1-bn，S1=1-b1=b1，

所以b1=，Sn-1=1-bn-1(n≥2)，Sn-Sn-1=bn-1-bn，2bn=bn-1(n≥2)，

所以数列{bn}是以为首项，为公比的等比数列，

所以。

因为对n∈N*恒成立，

所以对n∈N*恒成立，

即对n∈N*恒成立，

设，

则，

因为，

所以f（n）＞f（n+1），

所以，当n∈N*时，f（n）单调递减，

设，则，

，

所以，当1≤n＜4时，g(n)单调递增；g(4)=g(5)；当n≥5时，g(n)单调递减；

设L(n)=f(n)+g(n)，则 L(1)＜L(2)＜L(3)，L(3)＞L(4)＞L(5)＞L(6)＞……，

所以L(3)最大，且，

所以，实数k的取值范围为。

解：（1）∵

∴

∵

∴

∴是以为首项，2为公比的等比数列。

（2）由（1）得

∴

。

（3）∵

∴

∴ ①

 ②

②-①，得

即 ③

 ④

④-③，得

即

∴

∴是等差数列。

（1）证明：∵，

∴，

∴，

又，

∴是以2为首项，2为公差的等差数列；

（2）解：由（1），，

∴，

当n≥2时，；

当n=1时，；

∴。

（3）由（2）知，，

∴

；

（4）由（2）知，，

∴b2+b3+…+bn。

解：（1）由题设，可得

所以

由a1=0，得a2k+1=2k（k+1）

从而，

于是

所以

所以dk=2k时，对任意k∈N*，a2k，a2k+1，a2k+2成等比数列；

（2）（i）由a2k-1，a2k，a2k+1成等差数列，及a2k，a2k+1，a2k+2成等比数列，得2a2k=a2k-1+a2k+12=+qk当q1≠1时，可知qk≠1，k∈N*

从而

即

所以是等差数列，公差为1；

（ii）由a1=0，a2=2，可得a3=4，从而

由（i）有得

所以

从而

因此

以下分两种情况进行讨论：

①当n为偶数时，设n=2m（m∈N*）

若，则

若

所以

从而，

②当n为奇数时，设n=2m+1（m∈N*）

综合①②可知，对任意n≥2，n∈N*，有。