- 等差数列
- 共11217题
已知{an}是首项为a，公差为1的等差数列，bn=
正确答案
∵{an}是首项为a，公差为1的等差数列
∴an=n+a-1bn
∴bn=
又∵对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，
则必有7+a-1＜0且8+a-1＞0，
∴-7＜a＜-6；
故答案为-7＜a＜-6．
若数列{an}为等差数列，且a1+3a8+a15=120，则2a9-a10的值等于______．
正确答案
∵数列{an}为等差数列，且a1+3a8+a15=120，
∴5a8=120，
∴a8=24，
∴2a9-a10=a1+7d=a8=24，
故答案为：24．
已知(
（1）展开式中是否有常数项？若有请求出常数项，若没有请说明理由；
（2）求展开式中所有的有理项．
正确答案
依题意，前三项系数的绝对值是1，C1n（
且2C1n•
即n2-9n+8=0，∴n=8（n=1舍去），
∴展开式的第k+1项为Ck8（
=（-
（1）证明：若第k+1项为常数项，
当且仅当
∵k∈Z，∴这不可能，
∴展开式中没有常数项．
（2）若第k+1项为有理项，当且仅当
∵0≤k≤8，k∈Z，∴k=0，4，8，
即展开式中的有理项共有三项，它们是：
T1=x4，T5=
已知Sn是公差为d的等差数列{an}的前n项和，且S6＞S7＞S5，则下列四个命题：①d＜0；②S11＞0；③S12＜0；④S13＞0中真命题的序号为______．
正确答案
由已知条件
即a6＞0，a7＜0，a6+a7＞0，
因此d＜0，①正确；
S11=11a6＞0②正确；
S12=
S13=
故④错误，
故真命题的序号是①②．
答案：①②
设正数数列{an} 的前n项和为 Sn，且对任意的n∈N*，Sn是an2和an的等差中项．
（1）求数列{an} 的通项公式；
（2）在集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k≤1500中，是否存在正整数m，使得不等式Sn-1005＞
正确答案
（1）由已知，∵Sn是an2和an的等差中项，∴2Sn=an2+an，且an＞0．
当n=1时，2a1=a12+a1，解得a1=1．
当n≥2时，有2Sn-1=an-12+an-1．
于是2Sn-2Sn-1=an2-an-12+an-an-1，即2an=an2-an-12+an-an-1，
∴an2-an-12=an+an-1，即（an+an-1）（an-an-1）=an+an-1．
∵an+an-1＞0，∴an-an-1=1（n≥2）．
∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴an=n．
（2）∵an=n，∴Sn-1005＞
由题设，M={2010，2012，…，2998}，
因为m∈M，所以m=2010，2012，…，2998均满足条件，且这些数组成首项为2010，公差为2的等差数列．
设这个等差数列共有k项，则2010+2（k-1）=2998，
解得k=495．
故集合M中满足条件的正整数m共有495个，满足条件的最小正整数m的值为2010．
在等差数列
正确答案
解：由题意，
解得：
所以，
已知{an}是等差数列，其中a1=25，a4=16
（1）求{an}的通项；
（2）数列{an}从哪一项开始小于0；
（3）求a1+a3+a5+…+a19值．
正确答案
（1）∵a4=a1+3d=25+3d=16，
∴d=-3，，
∴an=28-3n…（3分）
（2）∵28-3n＜0∴n＞9
∴数列{an}从第10项开始小于0 …（6分）
（3）a1+a3+a5+…+a19是首项为25，公差为-6的等差数列，共有10项
其和S=10×25+
在△ABC中，三边a、b、c成等差数列，
正确答案
证明：∵
∴
平方得a+c+2
∵a+c=2b
∴
故（
∴a=b=c，故△ABC为正三角形．
设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=81，则a2+a5+a8=______．
正确答案
∵s9=
∴a5=9
∴a2+a5+a8=3a5=27
故答案是27
已知数列{an}中a1=
（1）求证数列{bn]是等差数列；
（2）若Sn=（a1-1）•（a2-1）+（a2-1）•（a3-1）+…+（an-1）•（an+1-1），则Sn是否存在最大值或最小值？若有，求出最大值与最小值，若没有说明理由．
正确答案
（1）由题意知bn=
∴数列{bn]是首项为b1=
（2）依题意有．an-1=
Sn=（a1-1）•（a2-1）+（a2-1）•（a3-1）+…+（an-1）•（an+1-1）=-
设函数y=
Sn在[3+∞）上是递增，且Sn＜-
而函数y=
故当n=2时，Sn取最大值：S2=
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