热门试卷

解：首先证明一个“基本事实”：

一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差d0=0

事实上，设这个数列中的连续三项a-d0，a，a+d0成等比数列，则a2=（a-d0）（a+d0），由此得d0=0

（1）（i）当n=4时，由于数列的公差d≠0，故由“基本事实”推知，删去的项只可能为a2或a3①若删去a2，则由a1，a3，a4成等比数列，得

因d≠0，故由上式得a2=-4d，即

此时数列为-4d，-3d，-2d，-d，满足题设；

②若删去a3，则由a1，a2，a4成等比数列，

得（a1+d）2=a1（a1+3d）

因d≠0故由上式得a1=d，即

此时数列为d，2d，3d，4d，满足题设

综上可知，的值为-4或1。

（ii）若n≥6，则从满足题设的数列a1，a2，…an中删去一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实”知，数列a1，a2，…，an的公差必为0，这与题设矛盾

所以满足题设的数列的项数n≤5

又因题设n≥4，故n=4或5

当n=4时，由（i）中的讨论知存在满足题设的数列。

当n=5时，若存在满足题设的数列

则由“基本事实”知，删去的项只能是a3，从而

成等比数列

故

分别化简上述两个等式，得

，故d=0

矛盾。因此，不存在满足题设的项数为5的等差数列，综上可知，n只能为4。

（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d'的n项等差数列

其中三项成等比数列

这里

则有

化简得

由b1d'≠0知或同时为零，或均不为零

若

则有

即矛盾

因此都不为零

故由（*）得

因为均为非负整数，所以上式右边为有理数，从而是一个有理数

于是，对于任意的正整数n≥4，只要取为无理数，则相应的数列就是满足要求的数列，例如，取那么n项数列满足要求。

解：（1）由已知a2-a1=-2，a3-a2=-1， -1-（-2）=1

∴an+1-an=（a2-a1）+（n-1）·1=n-3

n≥2时，an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+（a2-a1）+a1=（n-4）+（n-5）+…+（-1）+（-2）+6

=

n=1也合适

∴an=（n∈N*）

又b1-2=4，b2-2=2

而

∴bn-2=（b1-2）·（）n-1

即bn=2+8·（）n∴数列{an}、{bn}的通项公式为：an=，bn=2+8·（）n；

（2）设

=

当k≥4时，为k的增函数

-8·（）k也为k的增函数

而f（4）=

∴当k≥4时，ak-bk≥

又f（1）=f（2）=f（3）=0

∴不存在k使f（k）∈（0，）。

解：（1）当n=1时：S1=a1=2a1﹣21+1，

解得a=4当n≥2时，由Sn=2an﹣2n+1 …①

且Sn﹣1=2an﹣1﹣2n …②

①﹣②得：an=2an﹣2an﹣1﹣2n，

有：an=2an﹣1+2n得，

∴bn﹣bn﹣1=1，，

故数列{bn}是以2为首项，以1为公差的等差数列．

（2）由（1）得：bn=1+2（n﹣1）=2n﹣1，即an=（n+1）2n，

∴，

∴，

∴，由2mTn＞cn，

得：，得，

又令，

∴=，

故f（n）在n∈N*时单调递减，

∴得m＞．

（Ⅰ）解：数列为等差数列；

理由如下：

∵对任意n∈N*都有an+bn=1，，

∴，

∴

∴数列是首项为，公差为1的等差数列．

（Ⅱ）证明：∵a1=b1，且a1+b1=1，

∴，

由（Ⅰ）知，

∴，

所证不等式，即，

也即证明，

令（x＞1），则，

再令，则g′（x）=，

当x＞1时，g′（x）＜0，

∴函数g（x）在[1，+∞）上单调递减，

∴当x＞1时，g（x）＜g（1）=0，即，

∴当x＞1时，，

∴函数在（1，+∞）上单调递减，

，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴成立。

解：(Ⅰ)由题设知，，

则当n≥2时，，

由得，

解得=d，

故当n≥2时，an=2nd2-d2，

又a1=d2，

所以数列{an}的通项公式为an=(2n-1)d2．

(Ⅱ)由=d及，

得d＞0，Sn=d2n2，

于是，对满足题设的m，n，k，m≠n，

有，

所以c的最大值；

另一方面，任取实数，

设k为偶数，令，则m，n，k符合条件，

且，

于是，只要9k2+4＜2ak2，

即当时，就有，

所以满足条件的，从而，

因此c的最大值为。

解：（1）由题意，当n=1时，

则a1=1，a2=2，则a2-a1=1，

当n≥2时，

=[nan-（n-1）an-1+1]

an+1=[（n+1）an+1-nan+1

则an+1-an=[（n+1）an+1-2nan+（n-1）an-1]，

则（n-1）an+1-2（n-1）an+（n-1）an-1=0，

即an+1-2an+an-1=0，

即an+1-an=an-an-1，

则数列{an+1-an}是首项为1，公差为0的等差数列

从而an-an-1=1，则数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列

所以an=n（n∈N*）。

（2）

所以Tn=b1+b2+…+bn

由于

因此Tn单调递增，故Tn的最小值为T1=

令，得k＜19，

所以k的最大正整数值为18。

解：（1）设数列的公差为d，

则，解得d=3，

∴数列为2，5，8，11，8，5，2。

（2）

=67108861。

（3），

由题意，得是首项为149，公差为-3的等差数列，

当n≤50时，；

当51≤n≤100时，

，

 综上所述，。

解：（1）

所以，，即，

解得：，∴。

（2）因为，

而，

所以，，

（3）因为，

所以，，，

=，

因为n≥1，所以，

∴，当n=1时取等号。

所以，，即，

所以存在半径最小的圆，最小半径为，使得对任意的n∈N*，点都在这个圆内或圆周上。

解：（1）在中，

令n=1，可得，即，

，

所以，

所以，即，

，

又，

于是，所以。

（2）由（1）得，

所以，                       ①

             ②

由①-②得，，

所以，

，

于是确定与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小。

 猜想当n=1，2时，2n<2n+1，

当n≥3时，2n>2n+1，

下面用数学归纳法证明：

当n=3时，显然成立；

则当n=k+1时，

，

所以当n=k+1时，猜想也成立。

于是，当n≥3，n∈N*时，2n>2n+1成立，

 综上所述，当n=1，2时，；

                  当n≥3时，。