热门试卷

（1）∵△an=an+1-an，an=5n2+3n

∴△an=5（n+1）2+3（n+1）-（5n2+3n）=10n+8

∴{△an}是以18 为首项，10为公差的等差数列

∵△2an=△an+1-△an=an+2-an+1-（an+1-an）=20n+26

∴{△2an}是以46为首项，20为公差的等差数列

（2）由△2an-△an+1+an=-2n及△2an=△an+1-△an，

得△an-an=2n，

∴an+1-2an=2n，

∴-=

∴数列{{}}是首项为，公差为的等差数列，

∴=+(n-1)×，

∴an=n•2n-1．

设Sn=1+2×21+…+n×2n-1①

则2Sn=2+2×22+…+n×2n②

①-②：-Sn=1+2+22+…+2n-1-n×2n

∴-Sn=2n-1 -n×2n

∴Sn=-2n+1 +n×2n

∴===0

由题意可得设a=，c=bq，

∴a•b•c=•b•bq=b3=8．解得b=2．

即a=，b=2，c=2q  …（2分）

又又a、b、c-1成等差数列，∴2b=a+（c-1），

∴4=+(2q-1)．∴2q2-5q+2=0．∴q=2或． …（4分）

当q=2时，a=1，b=2，c=4；

当q=时，a=4，b=2，c=1．

即所求数列为1、2、4或4、2、1． …（6分）

解 ∵数列{an}中，a1=1，3anan﹣1+an﹣an﹣1=0（n≥2，n∈N*），

∴an﹣1﹣an=3anan﹣1，∴（n≥2）．

故数列{}是等差数列．

（2）由（1）的结论可得bn==1+（n﹣1）×3，

所以bn=3n﹣2，∴Sn==．

（3）将an==代入λan+≥λ并整理得λ（1﹣）≤3n+1，

∴λ≤，原命题等价于该式对n≥2恒成立．

设Cn=，则Cn+1﹣Cn=＞0，Cn+1＞Cn，

∵n=2时，Cn的最小值C2为，∴λ的取值范围是（﹣∞，]．

解：（1）由已知，当时，，

又，

所以，

即，

所以，

又

所以数列是首项为1，公差为的等差数列。

由上可知，

即

所以当时，

因此

（2）解：设表中从第三行起，每行的公比都为q，且

因为，

所以表中第1行至第12行共含有数列的前78项，

故在表中第13行第三列，

因此

又，

所以

记表中第行所有项的和为S，

则。

解：（Ⅰ）由，可得，

，

可知，为等差数列。

（Ⅱ）因为为等差数列，由上知等差数列的公差d=2，

 ，

所以，，

当n=1时，；

当n≥2时，，

综上所述，。 

解 （1）令n=1得a2-5=，解得a2=12，

由已知得（an+1-an）2=2（an+1+an）+15        ①

（an+2-an+1）2=2（an+2+an+1）+15     ②

将②-①得（an+2-an）（an+2-2an+1+an）=2（an+2-an），

由于数列{an}单调递增，所以an+2-an≠0，于是

an+2-2an+1+an=2，即（an+2-an+1）-（an+1-an）=2，

所以{an+1-an}是首项为7，公差为2的等差数列，于是

an+1-an=7+2（n-1）=2n+5，所以

an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=（2n+3）+（2n+1）+…+7+5=n（n+4）．

（2）在 Sn=2（1-bn）中令n=1得b1=2（1-b1），解得b1=，

∵Sn=2（1-bn），Sn+1=2（1-bn+1），相减得bn+1=-2bn+1+2bn，即3bn+1=2bn，

∴{bn}是首项和公比均为的等比数列，

∴bn=（）n．

从而anbn=n（n+4）（）n．

设数列{anbn}的最大项为akbk，则有

k（k+4）（）k≥（k+1）（k+5）（）k+1，且k（k+4）（）k≥（k-1）（k+3）（）k-1，

所以k2≥10，且k2-2k-9≤0，因为k是自然数，解得k=4．

所以数列{anbn}的最大项为a4b4=．

在数列{an}中，

∵2an+1=an+an+2，

∴{an}为等差数列，设公差为d，

由，得．

∴an=a1+（n-1）d=2n-12，

∴n＜5时，an＜0，n=6时，an=0，n＞6时，an＞0．

∴{an}的前5项或前6项的和最小为-30．

（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，

由已知，a1（1+q）=6，a1q（1+q）=12          …（2分）

两式相除，得q=2．                       …（4分）

所以a1=2，…（6分）

所以数列{an}的通项公an=2n．          …（7分）

（Ⅱ）设等差数列{bn}的公差为d，

则b1+d=4，b1+3d=16…（9分）

解得b2=-2，d=6…（11分）

b1-b2+b3-b4+…-b100的

=（b1-b2）+（b3-b4）+…（b99-b100）（12分）

=-50d=-300…（13分）

解：(Ⅰ)当纵断面为正三角形时，设共堆放n层，

则从上到下每层圆钢根数是以1为首项，1为公差的等差数列，且剩余的圆钢一定小于n根，

从而由且n∈N*得，

当n=62 时，使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余了56根圆钢。

(Ⅱ)(1)当纵断面为等腰梯形时，设共堆放n层，

则从上到下每层圆钢根数是以x为首项，1为公差的等差数列，

从而nx+n(n-1)=2009，

即n(2x+n-1)=2×2009=2×7×7×41，

因n-1与n的奇偶性不同，

所以2x+n-1与n的奇偶性也不同，且n＜2x+n-1，

从而由上述等式得：

或或或，

所以共有4种方案可供选择． 

(2)因层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，

所以由(1)可知：

若n= 49，则x=17，说明最七层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，此时如图所示，两腰之长为480cm，上下底之长为160cm和640cm，从而梯形之高为240cm，显然大于4m，不合条件，舍去；

 若n=41，则x=29，说明最上层有29根圆钢，最下层有69根圆钢，此时如图所示，两腰之长为400cm，上下底之长分别为280cm，680cm，从而梯形之高为200cm，而200+10＜400，所以符合条件；

综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地。