- 等差数列
- 共11217题
已知向量,
,若
,且
,
,
分别为
的三边
,
,
所对的角.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若,
,
成等差数列,且
,求
边的长。
正确答案
解:(Ⅰ)
对于
又∵
(Ⅱ)由
∴
∵,即
由余弦弦定理
已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a3•a4=117,a2+a5=22,
(1)求通项an;
(2)若数列{bn}满足bn=,是否存在非零实数c,使得{bn}为等差数列?若存在,求出c的值,若不存在,说明理由.
正确答案
(1)由等差数列的性质,得a3+a4=a2+a5=22,
又∵a3•a4=117,∴a3、a4是方程x2-22x+117=0的解,
结合公差大于零,解得a3=9,a4=13,
∴公差d=a4-a3=13-9=4,首项a1=a3-2d=1.
因此,数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=1+4(n-1)=4n-3.
(2)由(1)知:Sn==2n2-n,
所以bn==
.
故b1=,b2=
,b3=
.
令2b2=b1+b3,即=
+
,化简得2c2+c=0.
因为c≠0,故c=-,此时bn=
=2n.
当n≥2时,bn-bn-1=2n-2(n-1)=2,符合等差数列的定义
∴c=-时,bn=2n.(n∈N+)
由此可得,当c=-时,{bn}成以2为首项、公差为2的等差数列.
设函数f(x)=logax(a>0,a≠1),已知数列f(x1),f(x2),…,f(xn),…是公差为2的等差数列,且x1=a2.
(Ⅰ)求数列{xn}的通项公式;
(Ⅱ)当a=时,求数列{xn•f(xn)}的前n项和Sn.
正确答案
(Ⅰ)由题意得,f(x1)=logaa2=2,且d=2,
∴f(xn)=2+(n-1)•2=2n,即logaxn=2n,
∴xn=a2n,
(Ⅱ)当a=时,xn•f(xn)=2n•(
)2n=n•2n+1,
,
两式相减得,
,
∴Sn=(n-1)2n+2+4.
成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数.
正确答案
解:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,
则由题设,得,
解得或
,
∴这4个数是:2,5,8,11.
成等差数列的四个数的和为26,第二数与第三数之积为40,求这四个数。
正确答案
解:设四个数分别为,
则,
当时,四数为2,5,8,11;
当时,四数为11,8,5,2。
若三个数成等差数列,其和为15,其平方和为83,求此三个数。
正确答案
解:设三个数分别为a-d,a,a+d,
则由题设,,
解得,
所以此三个数分别为3、5、7或7、5、3。
数列{an}各项的倒数组成一个等差数列,若a3=-1,a5=
+1,求a11。
正确答案
解:设,则{bn}为等差数列,
设公差为d,
由已知得,
∴,解得
,
∴,
∴。
已知数列{an}和等比数列{bn}满足:a1=b1=4,a2=b2=2,a3=1,且数列{an+1-an}是等差数列,n∈N*,
(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)问是否存在k∈N*,使得ak-bk∈(,3]?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
正确答案
(Ⅰ)由题设可知,bn=4×()n-1=(
)n-3,
∵a2-a1=-2,a3-a2=-1,
∴an+1-an=-2+(n-1)×1=n-3,
∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)++(an-an-1)=4+(-2)+(-1)++(n-4)=4+,
∴an=.
(Ⅱ)设cn=an-bn=-(
)n-3,
显然,n=1,2,3时,cn=0,
又cn+1-cn=(n-3)+()n-2,
∴当n=3时,c4-c3=,∴a4-b4=
,
当n=4时,c5-c4=,∴a5-b5=
,
当n=5时,c6-c5=,∴a6-b6=
>3,
当n≥6时,cn+1-cn=(n-3)+()n-2>3恒成立,
∴cn+1=an+1-bn+1>3+cn>3恒成立,
∴存在k=5,使得ak-bk∈(,3].
数列{an}是等差数列,a4=7,S7=______.
正确答案
S7=(a1+a7)
=×2a4
=7a4
=49.
故答案:49.
等差数列{an}中,a4=10且a3,a6,a10成等比数列,求数列{an}前20项的和S20.
正确答案
设数列{an}的公差为d,则a3=a4-d=10-d,a6=a4+2d=10+2d,a10=a4+6d=10+6d.
由a3,a6,a10成等比数列得a3a10=a62,
即(10-d)(10+6d)=(10+2d)2,
整理得10d2-10d=0,
解得d=0或d=1.
当d=0时,S20=20a4=200.
当d=1时,a1=a4-3d=10-3×1=7,
于是S20=20a1+d=20×7+190=330.
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