- 等差数列
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已知数列{an}满足a1=3，an+an-1=4n (n≥2)
（1）求证：数列{an}的奇数项，偶数项均构成等差数列；
（2）求{an}的通项公式；
（3）设bn=
正确答案
（1）由an+an-1=4n (n≥2)①，
得an+1+an=4(n+1) (n≥2)②，
②-①得an+1-an-1=4 (n≥2)，
所以数列{an}的奇数项，偶数项均构成等差数列，且公差都为4．
（2）由a1=3，a2+a1=8得a2=5，
故a2n-1=3+4（n-1）=4n-1，a2n=5+4（n-1）=4n+1，
由于a2n-1=4n-1=2（2n-1）+1，a2n=4n+1=2（2n）+1，所以an=2n+1；
（3）bn=
所以Sn=b1+b2+…+bn=
①-②得，
所以Sn=5-
等差数列{an}中，a1＞0，S4=S9，则Sn取最大值时，n=______．
正确答案
4a1+
∴Sn=-6dn+
=
=
13
2
)2-
∵a1＞0，d＜0，∴当n=6或7时，Sn取最大值-
故答案：6或7．
已知数列{an}（n∈N*），其前n项和为Sn，给出下列四个命题：
①若{an}是等差数列，则三点(10，
②若{an}是等差数列，且a1=-11，a3+a7=-6，则S1、S2、…、Sn这n个数中必然存在一个最大者；
③若{an}是等比数列，则Sm、S2m-Sm、S3m-S2m（m∈N*）也是等比数列；
④若Sn+1=a1+qSn（其中常数a1q≠0），则{an}是等比数列．
其中正确命题的序号是______．（将你认为的正确命题的序号都填上）
正确答案
①因为
则
所以三点(10，
②若{an}是等差数列，且a1=-11，a3+a7=-6，所以a1+2d+a1+6d=-6，解得d=2，所以数列是递增数列，则S1、S2、…、Sn这n个数中不存在一个最大者；②不正确；
③若{an}是等比数列，则Sm=
S2m-Sm=
S3m-S2m=
因为[
a1(qm-q2m)
1-q
]2=
所以Sm、S2m-Sm、S3m-S2m（m∈N*）也是等比数列，
当公比q=-1，且m为偶数时，该命题错误．
④若Sn+1=a1+qSn（其中常数a1q≠0），如果数列是等比数列，设公比为q，则Sn+an+1=a1+qSn∴Sn（1-q）=a1-an+1=a1（1-qn），显然数列{an}是等比数列．正确．
故答案为：①④．
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*），等差数列{bn}中，bn＞0（n∈N*）且b1+b2+b3=15，又a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列．求数列{an}、{bn}的通项公式．
正确答案
（1）当n≥2时，由an+1=2Sn+1得an=2Sn-1+1，两式相减得
an+1-an=2Sn-2Sn-1=2an，整理得
a2=2S1+1=3，∴
∴{an}是以1为首项，3为公比的等比数列．
∴an=3n-1
（2）由条件知：b2=5，故（1+b1）（9+b3）=64
即（6-d）（14+d）=64，解得d=2或d=-10（舍），故b1=3
∴bn=b1+（n-1）d=2n+1
已知三个锐角A、B、C成等差数列且sinA、sinB、sinC成等比数列．求证：A=B=C．
正确答案
证明：∵三个锐角A、B、C成等差数列，
∴2B=A+C
∵A+B+C=180°
∴B=60°，C=120°-A，
∵sinA、sinB、sinC成等比数列，即（
化简，得
∴sin（2A-30°）=1，因为a为锐角，所以2A-30°=90°，A=60°，则C=60°，
∴A=B=C．
在△ABC中，tanA是以-4为第三项，4为第7项的等差数列的公差，tanB是以
正确答案
设公差为d，a3=-4，a7=4
∴a7-a3=4d=8
∴tanA=d=2
等比
b3=
∴
∴tanB=q=3
tanC=tan（180-A-B）=-tan（A+B）=-
∴C=45°
已知数列an（n∈N*）的前n项和为Sn．若Sn满足（2n-1）Sn+1=（2n+1）Sn+4n2-1，是否存在a1，使数列an为等差数列？若存在，求出a1的值；若不存在，请说明理由；
正确答案
∵（2n-1）Sn+1=（2n+1）Sn+4n2-1，
∴
∴{
∴Sn=（a1+n-1）（2n-1）=2n2+（2a1-3）n+（1-a1），
当n=1时，S1=a1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=4n+2a1-5，
∵数列an为等差数列，
∴a2-a1=4⇒a1+3=4⇒a1=1．
∴存在a1=1，使数列an为等差数列．．
在等差数列{an}中，3a5=5a13，且S5=220，Sn为其前n项和，问Sn取最大值时，n的值是多少？
正确答案
由已知得
解得
∴Sn=48n+
所以n=24或25时，Sn取最大值．
若Sn是等差数列{an}的前n项和，且2a8=6+a11，则S9=______．
正确答案
∵等差数列{an}的2a8=6+a11，
∴2×8=11+x
∴x=5，
∴a5=6，
∴S9=9a5=54，
故答案为：54
设等差数列{an}的前n项和为Sn．若S2k=72，且ak+1=18-ak，则正整数k=______．
正确答案
∵s2k=
又∵ak+1+ak=a1+a2k=18
∴k=4
故答案是4
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