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题型:填空题
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填空题

已知等差数列{an}的公差d≠0,它的第1、5、17项顺次成等比数列,则这个等比数列的公比等于______.

正确答案

依题意可知(a1+4d)2=a1(a1+16d),

整理得8a1d=16d2,解得d=2a1

∴q===3;

故答案为3

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题型:简答题
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简答题

已知数列an的前n项和Sn=-an-()n-1+2(n∈N*)

(1)令bn=2nan,求证:数列bn是等差数列,并求数列an的通项公式.

(2)令cn=an,Tn=c1+c2+…+cn,试比较Tn的大小,并予以证明.

正确答案

(1)在Sn=-an-()n-1+2(n∈N*)中,令n=1,可得S1=-a1-1+2=a1,即a1=

当n≥2时,Sn-1=-an-1-()n-2+2

所以an=Sn-Sn-1=-an+an-1+()n-1

所以2an=an-1+()n-1,即2nan=2n-1an-1+1

因为bn=2nan,所以bn=bn-1+1,即当n≥2时,bn-bn-1=1

又b1=2a1=1,所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列

于是bn=1+(n-1)•1=n=2nan,所以an=

(2)由1)得cn=an=(n+1)()n

所以Tn=2×+3×()2+…+(n+1)×()nTn=2×()2+3×()3++n•()n+(n+1)•()n+1

由①-②得Tn=-

所以Tn=3-Tn-=3--=

于是确定Tn的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小.

猜想当n=1,2时,2n<2n+1,当n≥3时,2n>2n+1

下面用数学归纳法证明:

当n=3时,显然成立

假设当n=k(k≥3)时,2k>2k+1成立

则当n=k+1时,2k+1=2•2k>2(2k+1)=4k+2=2(k+1)+1+(2k-1)>2(k+1)+1

所以当n=k+1时,猜想也成立.

于是,当n≥3,n∈N*时,2n>2n+1成立

综上所述,当n=1,2时,Tn<

当n≥3时,Tn>

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题型:简答题
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简答题

已知数列{an}中,an=2-(n≥2,n∈N+),

(1)若a1=,数列{bn}满足bn=(n∈N+),求证数列{bn}是等差数列;

(2)若a1=,求数列{an}中的最大项与最小项,并说明理由;

(3)若1<a1<2,试证明:1<an+1<an<2.

正确答案

(1)bn===,而bn-1=

∴bn-bn-1=-=1.(n∈N+

∴{bn}是首项为b1==-,公差为1的等差数列.

(2)依题意有an-1=,而bn=-+(n-1)•1=n-3.5,

∴an-1=.对于函数y=

在x>3.5时,y>0,y′=-<0,

在(3.5,+∞)上为减函数.且y>0,故当n=4时,an=1+取最大值3.

而函数y=在x<3.5时,y<0,y′=-<0,

在(-∞,3.5)上也为减函数.且y<0,故当n=3时,取最小值,a3=-1.

∴数列{an}中的最大项是a4=3;最小项是a3=-1

(3)先用数学归纳法证明1<an<2,再证明an+1<an.①当n=1时,1<a1<2成立;

②假设当n=k时命题成立,即1<ak<2,

当n=k+1时,<1⇒ak+1=2-∈(1,)⇒1<ak+1<2故当n=k+1时也成立,

综合①②有,命题对任意n∈N+时成立,即1<an<2.

(也可设f(x)=2-(1≤x≤2),则f(x)=>0,

故1=f(1)<ak+1=f(ak)<f(2)=<2).

进而证明an+1<an ∵an+1-an=2-(an+)<2-2=0

∴an+1<an

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题型:填空题
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填空题

设数列{an}、{bn}均为等差数列,且公差均不为0,,则(    )。

正确答案

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题型:简答题
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简答题

在数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,a1=1,当n≥2时,Sn2=an(Sn-)

(1)求证{}为等差数列,并求an

(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn

(3)是否存在自然数m,使得对任意自然数n∈N*,都有Tn(m-8)成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由.

正确答案

(1)证明:∵当n≥2时,Sn2=an(Sn-)

∴Sn2=(Sn-Sn-1)(Sn-)

∴2SnSn-1=Sn-1-Sn

∴2=-

∵a1=1,∴=1

∴{}是1为首项,2为公差的等差数列,

=1+2(n-1)=2n-1

∴Sn=

∴当n≥2时,an=-

∵a1=1,

∴an=

(2)bn==-),

∴Tn=[1-+-+…+-)=(1-)=

(3)令T(x)==(1-),则T(x)在[1,+∞)上是增函数

当x≥1时,≤T(x)<,∴Tn

(m-8)≥,则m≥10,

∴存在自然数m,使得对任意自然数n∈N*,都有Tn(m-8)成立,m的最小值为10.

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题型:简答题
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简答题

若钝角三角形的三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,求m的取值范围.

正确答案

设钝角三角形的三内角为:60°-α,60°,60°+α,则90°<60°+α<120°,

即30°<α<60°,设60°+α对应a边,60°-α对应b边,由正弦定理,得:===m,

∴tanα=

∵30°<α<60°,∴<tanα<,∴m>2,

故m的取值范围为(2,+∞).

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题型:简答题
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简答题

数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*).

(Ⅰ)证明:数列{}是等差数列;

(Ⅱ)求数列{an}的通项公式an

(Ⅲ)设bn=an,求数列{bn}的前n项和Sn

正确答案

(Ⅰ)由已知可知=,即=+1,即-=1

∴数列{}是公差为1的等差数列.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知=+(n-1)×1=2+(n-1)×1=n+1,∴an=

(Ⅲ)由(Ⅱ)知bn=an=×

∴bn==(-)

∴Sn=b1+b2+…+bn=(1-)+(-)+…+()=[(1-)+(-)+…+(-)]=

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题型:简答题
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简答题

数列{an}的通项公式是an=3n-5,求证:{an}是等差数列,并求出首项与公差.

正确答案

证明:∵an=3n-5,

∴n≥2时,an-an-1=(3n-5)-[3(n-1)-5]=3

∵a1=3-5=-2

∴{an}是等差数列,首项为-2,公差为3.

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题型:简答题
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简答题

数列{an}的前n项和记为Sn,at=t,点(Sn,an+1)在直线y=2x+1上,n∈N*

(Ⅰ)当实数t为何值时,数列{an}是等比数列?

(Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下,设bn=log3an+1,Tn是数列{}的前n项和,求T2011的值.

正确答案

(本小题满分12分)

(Ⅰ)由题意得an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n≥2)(1分)

两式相减得an+1-an=2an,即an+1=3an,(4分)

所以当n≥2时,{an}是等比数列,

要使n≥1时,{an}是等比数列,则只需==3,从而t=1.(7分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知an=3n-1,bn=log3an+1=n,(9分)

==-(10分)

T2011=+…+=(1-)+(-)+…+(-)=(12分)

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题型:填空题
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填空题

已知等差数列{an}的各项均为正数,若a1=3,前三项的和为21,则a4+a5+a6=______.

正确答案

∵a1+a2+a3=3a2=21

∴a2=7

∴d=7-3=4

∴a4+a5+a6=a1+3d+a2+3d+a3+3d=21+9d=57

故答案为:57

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