热门试卷

（1）在Sn=-an-()n-1+2(n∈N*)中，令n=1，可得S1=-a1-1+2=a1，即a1=

当n≥2时，Sn-1=-an-1-()n-2+2

所以an=Sn-Sn-1=-an+an-1+()n-1

所以2an=an-1+()n-1，即2nan=2n-1an-1+1

因为bn=2nan，所以bn=bn-1+1，即当n≥2时，bn-bn-1=1

又b1=2a1=1，所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列

于是bn=1+（n-1）•1=n=2nan，所以an=

（2）由1）得cn=an=(n+1)()n

所以Tn=2×+3×()2+…+(n+1)×()n①Tn=2×()2+3×()3++n•()n+(n+1)•()n+1②

由①-②得Tn=-

所以Tn=3-Tn-=3--=

于是确定Tn与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小．

猜想当n=1，2时，2n＜2n+1，当n≥3时，2n＞2n+1

下面用数学归纳法证明：

当n=3时，显然成立

假设当n=k（k≥3）时，2k＞2k+1成立

则当n=k+1时，2k+1=2•2k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k-1）＞2（k+1）+1

所以当n=k+1时，猜想也成立．

于是，当n≥3，n∈N*时，2n＞2n+1成立

综上所述，当n=1，2时，Tn＜，

当n≥3时，Tn＞

（1）bn===，而bn-1=，

∴bn-bn-1=-=1．（n∈N+）

∴{bn}是首项为b1==-，公差为1的等差数列．

（2）依题意有an-1=，而bn=-+(n-1)•1=n-3.5，

∴an-1=．对于函数y=，

在x＞3.5时，y＞0，y′=-＜0，

在（3.5，+∞）上为减函数．且y＞0，故当n=4时，an=1+取最大值3．

而函数y=在x＜3.5时，y＜0，y′=-＜0，

在（-∞，3.5）上也为减函数．且y＜0，故当n=3时，取最小值，a3=-1．

∴数列{an}中的最大项是a4=3；最小项是a3=-1

（3）先用数学归纳法证明1＜an＜2，再证明an+1＜an．①当n=1时，1＜a1＜2成立；

②假设当n=k时命题成立，即1＜ak＜2，

当n=k+1时，＜＜1⇒ak+1=2-∈(1，)⇒1＜ak+1＜2故当n=k+1时也成立，

综合①②有，命题对任意n∈N+时成立，即1＜an＜2．

（也可设f(x)=2-（1≤x≤2），则f′(x)=＞0，

故1=f（1）＜ak+1=f(ak)＜f(2)=＜2）．

进而证明an+1＜an ∵an+1-an=2-(an+)＜2-2=0

∴an+1＜an

（1）证明：∵当n≥2时，Sn2=an(Sn-)

∴Sn2=(Sn-Sn-1)(Sn-)

∴2SnSn-1=Sn-1-Sn

∴2=-

∵a1=1，∴=1

∴{}是1为首项，2为公差的等差数列，

∴=1+2(n-1)=2n-1

∴Sn=

∴当n≥2时，an=-

∵a1=1，

∴an=；

（2）bn==（-），

∴Tn=[1-+-+…+-）=(1-)=；

（3）令T（x）==(1-)，则T（x）在[1，+∞）上是增函数

当x≥1时，≤T(x)＜，∴Tn＜

令(m-8)≥，则m≥10，

∴存在自然数m，使得对任意自然数n∈N*，都有Tn＜(m-8)成立，m的最小值为10．

设钝角三角形的三内角为：60°-α，60°，60°+α，则90°＜60°+α＜120°，

即30°＜α＜60°，设60°+α对应a边，60°-α对应b边，由正弦定理，得：===m，

∴tanα=．

∵30°＜α＜60°，∴＜tanα＜，∴m＞2，

故m的取值范围为（2，+∞）．

（Ⅰ）由已知可知=，即=+1，即-=1

∴数列{}是公差为1的等差数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知=+(n-1)×1=2+(n-1)×1=n+1，∴an=．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知bn=an=×

∴bn==(-)

∴Sn=b1+b2+…+bn=(1-)+(-)+…+()=[(1-)+(-)+…+(-)]=．

证明：∵an=3n-5，

∴n≥2时，an-an-1=（3n-5）-[3（n-1）-5]=3

∵a1=3-5=-2

∴{an}是等差数列，首项为-2，公差为3．

（本小题满分12分）

（Ⅰ）由题意得an+1=2Sn+1，an=2Sn-1+1（n≥2）（1分）

两式相减得an+1-an=2an，即an+1=3an，（4分）

所以当n≥2时，{an}是等比数列，

要使n≥1时，{an}是等比数列，则只需==3，从而t=1．（7分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知an=3n-1，bn=log3an+1=n，（9分）

∴==-（10分）

T2011=+…+=(1-)+(-)+…+(-)=（12分）