- 等差数列
- 共11217题
已知等差数列{an}的公差d≠0,它的第1、5、17项顺次成等比数列,则这个等比数列的公比等于______.
正确答案
依题意可知(a1+4d)2=a1(a1+16d),
整理得8a1d=16d2,解得d=2a1,
∴q==
=3;
故答案为3
已知数列an的前n项和Sn=-an-()n-1+2(n∈N*)
(1)令bn=2nan,求证:数列bn是等差数列,并求数列an的通项公式.
(2)令cn=an,Tn=c1+c2+…+cn,试比较Tn与
的大小,并予以证明.
正确答案
(1)在Sn=-an-()n-1+2(n∈N*)中,令n=1,可得S1=-a1-1+2=a1,即a1=
当n≥2时,Sn-1=-an-1-()n-2+2
所以an=Sn-Sn-1=-an+an-1+()n-1
所以2an=an-1+()n-1,即2nan=2n-1an-1+1
因为bn=2nan,所以bn=bn-1+1,即当n≥2时,bn-bn-1=1
又b1=2a1=1,所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列
于是bn=1+(n-1)•1=n=2nan,所以an=
(2)由1)得cn=an=(n+1)(
)n
所以Tn=2×+3×(
)2+…+(n+1)×(
)n①
Tn=2×(
)2+3×(
)3++n•(
)n+(n+1)•(
)n+1②
由①-②得Tn=
-
所以Tn=3-Tn-
=3-
-
=
于是确定Tn与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小.
猜想当n=1,2时,2n<2n+1,当n≥3时,2n>2n+1
下面用数学归纳法证明:
当n=3时,显然成立
假设当n=k(k≥3)时,2k>2k+1成立
则当n=k+1时,2k+1=2•2k>2(2k+1)=4k+2=2(k+1)+1+(2k-1)>2(k+1)+1
所以当n=k+1时,猜想也成立.
于是,当n≥3,n∈N*时,2n>2n+1成立
综上所述,当n=1,2时,Tn<,
当n≥3时,Tn>
已知数列{an}中,an=2-(n≥2,n∈N+),
(1)若a1=,数列{bn}满足bn=
(n∈N+),求证数列{bn}是等差数列;
(2)若a1=,求数列{an}中的最大项与最小项,并说明理由;
(3)若1<a1<2,试证明:1<an+1<an<2.
正确答案
(1)bn==
=
,而bn-1=
,
∴bn-bn-1=-
=1.(n∈N+)
∴{bn}是首项为b1==-
,公差为1的等差数列.
(2)依题意有an-1=,而bn=-
+(n-1)•1=n-3.5,
∴an-1=.对于函数y=
,
在x>3.5时,y>0,y′=-<0,
在(3.5,+∞)上为减函数.且y>0,故当n=4时,an=1+取最大值3.
而函数y=在x<3.5时,y<0,y′=-
<0,
在(-∞,3.5)上也为减函数.且y<0,故当n=3时,取最小值,a3=-1.
∴数列{an}中的最大项是a4=3;最小项是a3=-1
(3)先用数学归纳法证明1<an<2,再证明an+1<an.①当n=1时,1<a1<2成立;
②假设当n=k时命题成立,即1<ak<2,
当n=k+1时,<
<1⇒ak+1=2-
∈(1,
)⇒1<ak+1<2故当n=k+1时也成立,
综合①②有,命题对任意n∈N+时成立,即1<an<2.
(也可设f(x)=2-(1≤x≤2),则f′(x)=
>0,
故1=f(1)<ak+1=f(ak)<f(2)=<2).
进而证明an+1<an ∵an+1-an=2-(an+)<2-2
=0
∴an+1<an
设数列{an}、{bn}均为等差数列,且公差均不为0,,则
( )。
正确答案
在数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,a1=1,当n≥2时,Sn2=an(Sn-)
(1)求证{}为等差数列,并求an;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn;
(3)是否存在自然数m,使得对任意自然数n∈N*,都有Tn<(m-8)成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由.
正确答案
(1)证明:∵当n≥2时,Sn2=an(Sn-)
∴Sn2=(Sn-Sn-1)(Sn-)
∴2SnSn-1=Sn-1-Sn
∴2=-
∵a1=1,∴=1
∴{}是1为首项,2为公差的等差数列,
∴=1+2(n-1)=2n-1
∴Sn=
∴当n≥2时,an=-
∵a1=1,
∴an=;
(2)bn==
(
-
),
∴Tn=[1-
+
-
+…+
-
)=
(1-
)=
;
(3)令T(x)==
(1-
),则T(x)在[1,+∞)上是增函数
当x≥1时,≤T(x)<
,∴Tn<
令(m-8)≥
,则m≥10,
∴存在自然数m,使得对任意自然数n∈N*,都有Tn<(m-8)成立,m的最小值为10.
若钝角三角形的三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,求m的取值范围.
正确答案
设钝角三角形的三内角为:60°-α,60°,60°+α,则90°<60°+α<120°,
即30°<α<60°,设60°+α对应a边,60°-α对应b边,由正弦定理,得:=
=
=m,
∴tanα=.
∵30°<α<60°,∴<tanα<
,∴m>2,
故m的取值范围为(2,+∞).
数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*).
(Ⅰ)证明:数列{}是等差数列;
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式an;
(Ⅲ)设bn=an,求数列{bn}的前n项和Sn.
正确答案
(Ⅰ)由已知可知=
,即
=
+1,即
-
=1
∴数列{}是公差为1的等差数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知=
+(n-1)×1=2+(n-1)×1=n+1,∴an=
.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知bn=an=
×
∴bn==
(
-
)
∴Sn=b1+b2+…+bn=(1-
)+
(
-
)+…+
(
)=
[(1-
)+(
-
)+…+(
-
)]=
.
数列{an}的通项公式是an=3n-5,求证:{an}是等差数列,并求出首项与公差.
正确答案
证明:∵an=3n-5,
∴n≥2时,an-an-1=(3n-5)-[3(n-1)-5]=3
∵a1=3-5=-2
∴{an}是等差数列,首项为-2,公差为3.
数列{an}的前n项和记为Sn,at=t,点(Sn,an+1)在直线y=2x+1上,n∈N*.
(Ⅰ)当实数t为何值时,数列{an}是等比数列?
(Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下,设bn=log3an+1,Tn是数列{}的前n项和,求T2011的值.
正确答案
(本小题满分12分)
(Ⅰ)由题意得an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n≥2)(1分)
两式相减得an+1-an=2an,即an+1=3an,(4分)
所以当n≥2时,{an}是等比数列,
要使n≥1时,{an}是等比数列,则只需=
=3,从而t=1.(7分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)得知an=3n-1,bn=log3an+1=n,(9分)
∴=
=
-
(10分)
T2011=+…+
=(1-
)+(
-
)+…+(
-
)=
(12分)
已知等差数列{an}的各项均为正数,若a1=3,前三项的和为21,则a4+a5+a6=______.
正确答案
∵a1+a2+a3=3a2=21
∴a2=7
∴d=7-3=4
∴a4+a5+a6=a1+3d+a2+3d+a3+3d=21+9d=57
故答案为:57
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