热门试卷

解：（Ⅰ）因为a1=1，

所以a2=1+2a1=3，，a4=1+2a2=7，；

（Ⅱ）证明：由题意，对于任意的正整数n，，

所以，

又，

所以，

又，

所以{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，

所以bn=2n；

（Ⅲ）存在。

事实上，对任意的m≥2，k∈N*，

在数列{an}中，这连续的2m项就构成一个等差数列。

我们先来证明：“对任意的n≥2，n∈N*，k∈（0，2n-1），k∈N*，有”，

由（Ⅱ），得，

所以，

当k为奇数时，，

当k为偶数时，，

记，

因此要证，

只需证明，

其中，k1∈N*，

（这是因为若，则当时，则k一定是奇数）

有

；

当时，则k一定是偶数，

有

，

如此递推，要证，

只要证明，

其中，k2∈N*，

如此递推下去，我们只需证明，

即，

由（Ⅱ）可得，所以对n≥2，n∈N*，k∈（0，2n-1），k∈N*，

有，

对任意的m≥2，m∈N*，

，其中i∈（0，2m-1），i∈N*，

所以，

又，

所以，

所以这连续的2m项，是首项为，公差为的等差数列。

解：（1）∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴数列为等比数列．

（2）由（1）可求得，

∴．

=，

若Sn＜100，则，

∴nmax=99．

（3）假设存在，则m+n=2s，（am﹣1）●（an﹣1）=（as﹣1）2，

∵，

∴．

化简得：3m+3n=2●3s，

∵，当且仅当m=n时等号成立．

又m，n，s互不相等，

∴不存在．

（Ⅰ）证明：若k=0，则fk（n）即f0（n）为常数，

不妨设f0（n）=c（c为常数）．

因为an+Sn=fk（n）恒成立，

所以a1+S1=c，c=2a1=2．

而且当n≥2时，an+Sn=2，①

an﹣1+Sn﹣1=2，②

①﹣②得 2an﹣an﹣1=0（n∈N，n≥2）．

若an=0，则an﹣1=0，…，a1=0，与已知矛盾，所以an≠0（n∈N*）．

故数列{an}是首项为1，公比为的等比数列．

（Ⅱ）解：（1）若k=0，由（Ⅰ）知，不符题意，舍去．

（2）若k=1，设f1（n）=bn+c（b，c为常数），

当n≥2时，an+Sn=bn+c，③

an﹣1+Sn﹣1=b（n﹣1）+c，④

③﹣④得 2an﹣an﹣1=b（n∈N，n≥2）．

要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有an=b﹣d（常数），

而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an=1（n∈N*），

故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an=1（n∈N*），

此时f1（n）=n+1．

（3）若k=2，设f2（n）=pn2+qn+t（a≠0，a，b，c是常数），

当n≥2时，an+Sn=pn2+qn+t，⑤

an﹣1+Sn﹣1=p（n﹣1）2+q（n﹣1）+t，⑥

⑤﹣⑥得 2an﹣an﹣1=2pn+q﹣p（n∈N，n≥2），

要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有an=2pn+q﹣p﹣d，且d=2p，

考虑到a1=1，所以an=1+（n﹣1）2p=2pn﹣2p+1（n∈N*）．

故当k=2时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an=2pn﹣2p+1（n∈N*），

此时f2（n）=an2+（a+1）n+1﹣2a（a为非零常数）．

（4）当k≥3时，若数列{an}能成等差数列，

根据等差数列通项公式可知Sn是关于n的二次型函数，

则an+Sn的表达式中n的最高次数为2，故数列{an}不能成等差数列．

综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列．

解：（Ⅰ）， 

由，得，

即{an}是公差d=-4的等差数列，

由，得，

∴，  

令，得n=16，

∴b3等于数列{an}中的第16项。

（Ⅱ），

∴，

又，  

∴n=20时，最大值M=800，

∴M＜T9。

解：（Ⅰ）， 

由，得，

即{an}是公差d=-4的等差数列，

由，得，

∴，  

令，得n=16，

∴b3等于数列{an}中的第16项。

（Ⅱ），

∴，

又，  

∴n=20时，最大值M=800，

∴M＜T9。

解：（1）由题意可知，an+1===

∴

从而数列{}是以1为公差的等差数列。

（2）∵an＞0，bn＞0

∴

从而（*）

设等比数列{an}的公比为q，

由an＞0可知q＞0

下证q=1

若q＞1，则，

故当时，与（*）矛盾

0＜q＜1，则，故当时，与（*）矛盾

综上可得q=1，an=a1，

所以，

∵

∴数列{bn}是公比的等比数列

若，则，于是b1＜b2＜b3又由可得

∴b1，b2，b3至少有两项相同，矛盾

∴，从而=

∴。

解：（Ⅰ）{cn}为等比数列；

证明：设{an}的公比为，{bn}的公比为，

则，

故{cn}为等比数列．

（Ⅱ）数列{lnan}和{lnbn}分别是公差为的等差数列，

由条件得，即，

故对n=1，2，…，

，

于是

将代入得，

从而有，

所以数列{cn}的前n项和为。