热门试卷

解：（1）由题意可知，，

令，则，

又，

则数列{cn}是首项为，公比为的等比数列，

即，故，

又，

故，

。

（2）证明：用反证法证明，

假设数列{bn}存在三项br，bs，bt(r＜s＜t)按某种顺序成等差数列，

由于数列{bn}是首项为，公比为的等比数列，

于是有br＞bs＞bt，则只可能有2br=bs+bt成立，

∴，

两边同乘3t-121-r，化简得3t-r+2t-r=2·2s-r3t-s，

由于r＜s＜t，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾；

故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列。

(Ⅰ)解：由题意可知，，

令，则，

又，

则数列{cn}是首项为，公比为的等比数列，

即，故，

又，

故，

。

(Ⅱ)证明：用反证法证明，

假设数列{bn}存在三项br，bs，bt(r＜s＜t)按某种顺序成等差数列，

由于数列{bn}是首项为，公比为的等比数列，

于是有br＞bs＞bt，则只可能有2br=bs+bt成立，

∴，

两边同乘3t-121-r，化简得3t-r+2t-r=2·2s-r3t-s，

由于r＜s＜t，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾；

故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列。

解：（1）由题意，得或，

∴或。

（2）对若存在题设要求的m，

则，

∴（2m）2-7·2m+8=0，

∴2m=8，m=3；

对，若存在题设要求的m，同理有（26-m）2-11·26-m-8=0，

而Δ=112+16×8不是完全平方数，

故此时所需的m不存在，

综上所述，满足条件的等比数列存在，且有。

解：（1）由 a3==a1q2，以及q=-可得a1=1

数列{an}的前n项和Sn===。

（2）证明：对任意k∈N+，2ak+2-（ak+ak+1）=2a1qk+1--=（2q2-q-1）

把q=-代入可得2q2-q-1=0，故2ak+2-（ak+ak+1）=0，

故ak，ak+2，ak+1成等差数列。

解：（1）由已知 ，得 ， ， ．

（2） ，

  ∴bn+1﹣bn=1，又b1=a3=a，

∴数列{bn}是首项为a，公差为1的等差数列．

（3）证明：由（2）知bn=a+n﹣1，

若三个不同的项a+i，a+j，a+k成等比数列，

i、j、k为非负整数，且i＜j＜k，

则（a+j）2=（a+i）（a+k），得a（i+k﹣2j）=j2﹣ik，

若i+k﹣2j=0，则j2﹣ik=0，得i=j=k，这与i＜j＜k矛盾．

若i+k﹣2j≠0，则 ，

∵i、j、k为非负整数，

∴a是有理数．

解：（1）∵=，

∴=4，

∵，

∴=2，

∴

∴3=＝8.  

∵+2①

当n≥2时，+2 ②

①-②得

即

∵

∴=3，

∴是公差为3的等差数列．

当＝1时，+2，解得=1或=2，

当=1时，，此时=7，与矛盾；

当时，此时此时=8=，

∴．

（2）∵，

∴＝，

∴=2>1，=＞1，=2>1,>1，<1，

下面证明当5时，

事实上，当5时，＝＜0即，

∵<1  

∴当5时，，

故满足条件的所有的值为1，2，3，4．

(3)假设中存在三项,, (<<,,,∈*)使,,构成等差数列，

∴ 2=+即2·2q-1=2p-1+2r-1．

∴2q-p+1=1+2．

因左边为偶数，右边为奇数，矛盾．

∴假设不成立，

故不存在任意三项能构成等差数列．

解：（Ⅰ）由，，

两式相减得，

又由，

可得，

根据，

得，

所以；

（Ⅱ），

对数列进行错位相减法得到，

于是数列，就是数列{-n}显然就是一等差数列。