等差数列_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c是以d为公差的等差数列，且a＞0，d＞0。设x0为f（x）的极小值点，在[]上，f′（x）在x1处取得最大值，在x2处取得最小值，将点（x0，f（x0）），（x1，f′（x1）），（x2，f′（x2））依次记为A，B，C。

（1）求x0的值；

（II）若△ABC有一边平行于x轴，且面积为2+，求a，d的值。

正确答案

解：（1）∵

∴

令f'（x）=0，得x=-1或

∵

∴

当时，

所以f（x）在x=-1处取极小值，即。

（2）∵

∴的图象开口向上，对称轴方程是

由知

∴在[-，0]上的最大值为，即

又由知

∴当时，f‘（x）取得最小值为，即

∵

∴

由△ABC有一条边平行于x轴，得AC平行于x轴，

所以，即 ①

又由△ABC的面积为，得

利用得 ②

联立①②可得。

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题型：简答题

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简答题

△ABC的三个内角A、B、C的对边的长分别为、b、c，有下列两个条件：①、b、c成等差数列；②、b、c成等比数列，现给出三个结论：（1）；（2）；（3）。

请你选取给定的两个条件中的一个条件为条件，三个结论中的两个为结论，组建一个你认为正确的命题，并证明之。

（I）组建的命题为：已知_______________________________________________

求证：①__________________________________________

②__________________________________________

（II）证明：

正确答案

解：（Ⅰ）命题一：△ABC中，若、b、c成等差数列，求证：（1）；（2）；

命题二：△ABC中，若、b、c成等差数列，求证：（1）；（2）；

命题三：△ABC中，若、b、c成等差数列，求证：（1）；（2）；

命题四：△ABC中，若、b、c成等比数列，求证：（1）；（2）；

（答案不唯一）

（Ⅱ）下面给出命题一、二、三的证明：

（1）∵、b、c成等差数列，

∴2b=+c，∴，

∴，

且B∈（0，），

∴；

（2）

；

（3），

∵，

∴，

∴。

下面给出命题四的证明：

（4）∵、b、c成等比数列，

∴b2=+c，

∴，

且，

∴。

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列。

（1）求cosB的值；

（2）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值。

正确答案

解：（1）由2B=A+C，A+B+C=180°，解得B=60°，

∴cosB=；

（2）由已知b2=ac，

根据正弦定理得sin2B=sinAsinC，

又cosB=，

∴sinAsinC=1-cos2B=。

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题型：填空题

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填空题

△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列四个论断正确的是（）

①若，则B=；

②若A=，b=2，，则满足条件的三角形共有两个；

③若a，b，c成等差数列，sinA，sinB，sinC成等比数列，则△ABC为正三角形；

④若a=5，c=2，S△ABC=4，则cosB=。

正确答案

①②③

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题型：简答题

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简答题

已知△ABC不是直角三角形。

（1）证明：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；

（2）若，且sin2A，sin2B，sin2C的倒数成等差数列，求的值。

正确答案

解：（1）A+B+C=π，A+B=π-C，两边取正切，tan （A+B）=tan（π-C）

。

（2）依题意，

由（1）知

∴

又

∴

即

将代入得

3cos（A-C） =1+2cos（2A-2C）=4cos2（A-C）-1

4cos2（A-C）-3cos（A-C）-1=0，

于是cos（A-C）=1（此时△ABC为等边三角形）或

由于

∴或。

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题型：填空题

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填空题

已知在△ABC中，sinB是sinA和sinC的等差中项，则内角B的取值范围是（）。

正确答案

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题型：填空题

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填空题

已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，若a=2，b=，A+C=2B，则A=（）。

正确答案

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题型：简答题

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简答题

（1）已知△ABC三边a，b，c成等差数列，求B的范围；

（2）已知△ABC三边a，b，c成等比数列，求角B的取值范围．

正确答案

解：（1）∵△ABC的三边a，b，c成等差数列，

∴2b=a+c，

又cosB=，

∴消去b化简得：cosB=﹣

∴﹣=，

又B为三角形的内角，

∴B∈（0，]；

（2）∵△ABC的三边a，b，c成等比数列，

∴b2=ac，

又cosB=，

∴消去b化简得：cosB=﹣

∴﹣=，

又B为三角形的内角，

∴B∈（0，]．

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，

（1）acosC，bcosB，ccosA 成等差数列．求B的值；

（2）a、b、c成等比数列．求角B的取值范围．

正确答案

解：（1）△ABC中由acosC，bcosB，ccosA 成等差数列可得

2bcosB=acosC+ccosA．

再由正弦定理可得 2sinBcosB=sinAcosC+sinAcosC=sin（A+C）=sinB，

∴cosB=，

∴B=．

（2）∵a、b、c成等比数列，b2=ac，

∴cosB=≥==，

当且仅当a=b=c时，cosB=，

故 0＜B≤．

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，A、B、C的对边分别是a，b，c，且bcosB是acosC，ccosA的等差中项．

（1）求∠B的大小；

（2）若a+c=，求△ABC的面积．

正确答案

解：（1）∵bcosB是acosC，ccosA的等差中项，

∴acosC+ccosA=2bcosB，

由正弦定理，得sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosB，即sin（A+C）=2sinBcosB，

∵A+C=﹣B，0＜B＜，

∴sin（A+C）=sinB≠0，

∴cosB=，B=．

（2）由B=，得=，即，

∴ac=2，

∴．

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