- 等差数列
- 共11217题
△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果a，b，c成等差数列，∠B=30 °，△ABC的面积为
正确答案
1+
△ABC的三个内角A、B、C依次成等差数列；
（Ⅰ）若sin2B=sinAsinc，试判断△ABC的形状；
（Ⅱ）若△ABC为钝角三角形，且a＞c，试求代数式sin2\frac{C}{2} 
正确答案
解：（Ⅰ）∵sin2B=sinAsinC，∴b2=ac．
∵A，B，C依次成等差数列，∴2B=A+C=π﹣B，
由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，a2+c2﹣ac=ac，∴a=c．
∴△ABC为正三角形．
（Ⅱ）
=
=
=
=
=
∵
∴
∴
∴代数式
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A，B，C依次成等差数列．
（1）若sin2B﹣sinAsinC，试判断△ABC的形状；
（2）若△ABC为钝角三角形，且a＞c，试求
正确答案
解：（1）∵sin2B=sinAsinC，∴b2=ac．
∵A，B，C依次成等差数列，
∴2B=A+C=π﹣B，
由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，a2+c2﹣ac=ac，
∴a=c．∴△ABC为正三角形．
（2）要求的式子 
=
=
=
∵
∴
∴
故 
∴代数式
△ABC中，、b、c分别为角A、B、C的对边，如果、b、c成等差数列，B=30°，△ABC的面积为
正确答案
4+2
已知椭圆的两焦点分别为F1（-4，0），F2（4，0），过点F2且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10。若椭圆上存在不同两点A（x1，y1），C（x2，y2），使|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列。
（1）求这个椭圆的方程；
（2）求弦AC中点的横坐标。
正确答案
解：（1）由椭圆的定义及已知条件，知
2a=|F1B|+|F2B|=10，
所以a=5
又c=4，
所以
故椭圆的方程为
（2）由点B（4，y0）在椭圆上，得
因为椭圆的右准线方程为
所以根据椭圆的第二定义，有
因为|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列
所以
所以x1+x2=8
从而弦AC中点的横坐标为
已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若am，am+2，am+1（m∈N*）成等差数列，试判断Sm，Sm+2，Sm+1 是否成等差数列，并证明你的结论。
正确答案
解：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q（a1≠0，q≠0），
若
则
∴
∵
∴
解得q=1或
当q=1时，∵
∴
∴①当q=1时，
②当
∵
∴
∴当
是否存在一个等比数列{an}使其满足下列三个条件：(1)a1+a6=11且a3a4=
(3)至少存在一个m（m∈N*，m＞4），使得
正确答案
解：假设存在这样的数列{an}，
∴
∴
设公比为q，则
∴
由
即
解得m=3，
又∵m＞4，
∴不存在这样的等比数列。
正确答案
解：由A，B，C成等差数列可得
而由
所以可得
由
故
在数列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，
（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；
（2）证明：
正确答案
解：（1）由条件得
由此可得
猜测
用数学归纳法证明：
①当n=1时，由上可得结论成立；
②假设当n=k时，结论成立，即
那么当n=k+1时，
所以当n=k+1时，结论也成立；
由①②，可知
（2）
n≥2时，由（Ⅰ）知
故
综上，原不等式成立。
在数列{an}和{bn}中，a1=1，b1=2，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列（n∈N*），
（1）求a2，a3，a4和b2，b3，b4；
（2）猜想{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；
（3）求证：
正确答案
解：（1）
（2）猜想：
用数学归纳法证明：
（ⅰ）当n=1时，结论显然成立；
（ⅱ）假设n=k时结论成立，即
当n=k+1时，
所以当n=k+1时，结论也成立；
综合（ⅰ）（ⅱ）对任意n∈N*，
（3）欲证
即证
下面用数学归纳法证明：
（ⅰ）当n=1时，左=
（ⅱ）假设n=k时结论成立，即
当n=k+1时，
而
所以
即
则n=k+1时不等式也成立；
综合（ⅰ）（ⅱ）对任意n∈N*，都有
亦即
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