- 等差数列
- 共11217题
已知{an}是等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，a1=b1，a2=b2≠a1，记Sn为数列{bn}的前n项和，
（1）若bk=am（m，k是大于2的正整数），求证：Sk-1=（m-1）a1；
（2）若b3=ai（i是某一正整数），求证：q是整数，且数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项；
（3）是否存在这样的正数q，使等比数列{bn}中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由。
正确答案
解：设 
（1）因为
所以
所以
（2）
由
所以
解得
但
所以
因为i是正整数，
所以
设数列
设数列
现在只要证明存在正整数m，使得
所以
若
那么
当
只要考虑
因为
所以
因此q是正整数，
所以m是正整数，
因此数列
从而结论成立。
（3）设数列
设
所以
令
则
∵
所以
所以
即存在
等差数列
正确答案
已知
正确答案
90
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a6=20，则S8等于（ ）。
正确答案
80
有n2（n≥4）个正数aij（i=1，2，…n，j=1，2，…n），排成n×n矩阵（n行n列的数表）：
（1）求公比q；
（2）用k表示a4k。
正确答案
解：（1）因为每一行的数成等差数列，
所以a42，a43，a44成等差数列，
所以a44=2a43-a42=
又每一列的数成等比数列，
故a44=a24·q2
又因为aij>0，
所以q>0，故
（2）由已知，第四行的数成等差数列，且d=a43-a42=
a4k为此行中第k个数，
所以a4k=a42+（k-2）d=
数列{an}中，a1=
（1）求数列{an}的通项公式及前n项和；
（2）若S1，t（S1+S2），3（S2+S3）成等差数列，求实数t的值。
正确答案
解：（1）由
又
∴
∴
（2）由（1）得，
∴
在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1=1，b1=2，bn＞0（n∈N*），且b1，a2，b2成等差数列，a2，b2，a3+2成等比数列，
（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设
正确答案
解：（Ⅰ）设等差数列
由题意，得
∴
（Ⅱ）
∴
已知等差数列{an}的前三项为a-1，4，2a，记前n项和为Sn。
（1）设Sk=2550，求a和k的值；
（2）设bn=
正确答案
解：（1）由已知得a1=a-1，a2=4，a3=2a，
又a1+a3=2a2，
∴（a-1）+2a=8，
即a=3，
∴a1=2，公差d=a2-a1=2
由
即k2+k-2550=0，
解得k=50或k=-51（舍去）
∴a=3，k=50。
（2）由
∴
∴{bn}是等差数列，
则b3+b7+b11+…+b4n-1=（3+1）+（7+1）+（11+1）+…+（4n-1+1）=
∴b3+b7+b11+…+b4n-1=2n2+2n。
已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，
正确答案
3+2
在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为，b，c，且A，B，C成等差数列，，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形。
正确答案
证明：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C， ①
因为A，B，C为△ABC的内角，所以A+B+C=π， ②
由①②得，B=
由，b，c成等比数列，有b2=c， ④
由余弦定理及③，可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac，
再由④，得a2+c2-ac=ac，
即(a-c)2=0，因此a=c，
从而A=C， ⑤
由②③⑤，得A=B=C=
所以△ABC为等边三角形。
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