热门试卷

证明：由条件，得，

消去x，y，即得，且有a>0，b>0，c>0，

要证（a+1）2≥（b+1）（c+1），

只需证，

即证

也就是证 2a≥b+c，

而，只要证，

即证b3+c3= （b+c）（b2+c2-bc）≥（b+c）bc，

即证b2+c2-bc≥bc，

即证（b -c）2≥0，

因为上式显然成立，

所以（a+1）2≥（b+1）（c+1）。

解：（1）由得

∴

∴c=2

∴双曲线的右焦点为F2（2，0）

∵圆C1与y轴相切于原点O，

∴可设C1：（x-m）2+y2=m2（m>0），

∵圆C1过点F2（2，0），

∴（2-m）2=m2且m>0，

∴m=1

∴圆C1：（x-1）2+y2=1；

（2）抛物线y2=4x的焦点为P（1，0），

∵P（1，0）为圆C1的圆心，

∴BC为圆C1的直径，

∴|BC|=2

若存在直线l使成等差数列，

则|AB|+|CD|=2|BC|=4

∴|AD|=|AB|+ |BC|+|CD|=6

当直线l的斜率不存在时x=1，代入y2=4x得A（1，2），D（1，-2），

∴|AD|=4，不合题意

当直线l的斜率存在时，

∵l过点P（1，0），

∴可设l：y=k（x-1），由y2=4x得：

代入l的方程得：

即ky2-4y-4k=0

设A（x1，y1），D（x2，y2），当k≠0时，

∴

又∵|AD|=6

∴

解得

l：

故存在符合条件的直线l，其方程为或y-=0。

（1）证明：由题设，∵|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，

∴2|AB|=|AF2|+|BF2|，

由椭圆定义|AB|+|AF2|+|BF2|=4a，

所以，．

（2）解：由点（0，﹣1）在椭圆C上，可设椭圆C的方程为，

设A（x1，y1），B（x2，y2），F1（﹣c，0），l：x=y﹣c，

代入椭圆C的方程，整理得（a2+1）y 2﹣2cy﹣1=0，（*）    

则

               =，

于是有，

，

故椭圆C的方程为．      

证明：（Ⅰ）由题设及椭圆的几何性质有，

设，则右准线方程为，

因此，由题意dn应满足，

即，

即，

从而对任意。

（Ⅱ）设点Pn的坐标为及椭圆方程易知，

，

因的面积为，

从而，

令，

由，得两根，

从而易知函数f（c）在内是增函数，而在内是减函数，

现在由题设取，

则是增数列，

又易知，

故由前已证，知S1＜S2，且。

解：（1）；

（2）；

（3）。

解：（Ⅰ）由条件得，

由此可得，

猜测，

用数学归纳法证明：

①当n=1时，由上可得结论成立；

②假设当n=k时，结论成立，即，

那么当n=k+1时，

，

所以当n=k+1时，结论也成立；

由①②，可知对一切正整数都成立。

（Ⅱ），

n≥2时，由（Ⅰ）知，

故

，

综上，原不等式成立．

解：（1）∵

∴

整理得

∴

∵

∴

故它们中至少有一个不是0

∴Δ>0，故方程有两个不相等的实数根

令

则

又

则

故方程必有一个根属于（x1，x2）；

（2）∵方程在内的根为m

∴

∴

成等差数列

∴

∴

故。

证明：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C，           ①

因为A，B，C为△ABC的内角，所以A+B+C=π，      ②

由①②得，B=，                                                 ③

由，b，c成等比数列，有b2=c，                          ④

由余弦定理及③，可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac， 

再由④，得a2+c2-ac=ac，

即(a-c)2=0，因此a=c，

从而A=C，                                                              ⑤

由②③⑤，得A=B=C=，

所以△ABC为等边三角形。