- 等差数列
- 共11217题
已知点Pn（an，bn）（n∈N*）都在直线l：y=2x+2上，P1为直线l与x轴的交点，数列{an}成等差数列，公差为1．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若
（Ⅲ）求证：
正确答案
解：（Ⅰ）由题意知P1（-1，0）（1分）
∴a1=-1，b1=0（2分）
∴an=a1+（n-1）•1=-1+n-1=n-2
∴bn=2an+2=2（n-2）+2=2n-2
（Ⅱ）若k为奇数，
则f（k）=ak=k-2f（k+5）=bk+5=2k+8∴2k+8=2（k-2）-5无解（6分）
若k为偶数，
则f（k）=2k-2，f（k+5）=k+3∴k+3=2（2k-2）-5，解得k=4（8分）
综上，存在k=4使f（k+5）=2f（k）-5成立．（9分）
（Ⅲ）证明：
（1）当
（2）当n≥3，n∈N*时，
=
综上，当
解析
解：（Ⅰ）由题意知P1（-1，0）（1分）
∴a1=-1，b1=0（2分）
∴an=a1+（n-1）•1=-1+n-1=n-2
∴bn=2an+2=2（n-2）+2=2n-2
（Ⅱ）若k为奇数，
则f（k）=ak=k-2f（k+5）=bk+5=2k+8∴2k+8=2（k-2）-5无解（6分）
若k为偶数，
则f（k）=2k-2，f（k+5）=k+3∴k+3=2（2k-2）-5，解得k=4（8分）
综上，存在k=4使f（k+5）=2f（k）-5成立．（9分）
（Ⅲ）证明：
（1）当
（2）当n≥3，n∈N*时，
=
综上，当
设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}的前n项和为Tn且
正确答案
解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a2n=2an+1，取n=1，得a2=2a1+1，即a1-d+1=0①
再由S4=4S2，得
联立①、②得a1=1，d=2．
所以an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（2）把an=2n-1代入
所以b1=T1=λ-1，
当n≥2时，
所以
Rn=c1+c2+…+cn=
③-④得：
所以
所以数列{cn}的前n项和
解析
解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a2n=2an+1，取n=1，得a2=2a1+1，即a1-d+1=0①
再由S4=4S2，得
联立①、②得a1=1，d=2．
所以an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（2）把an=2n-1代入
所以b1=T1=λ-1，
当n≥2时，
所以
Rn=c1+c2+…+cn=
③-④得：
所以
所以数列{cn}的前n项和
已知等差数列{an}，公差d＜0，设bn=（
（1）求证：数列{bn}是等比数列；
（2）求等差数列{an}的通项an．
正确答案
（1）证明：设{an}的公差为d，则
∴{bn}为以
（2）解：∵b1•b2•b3=
∵b1+b2+b3=
∴b1+b3=
由{bn}公比为q=
∴b1＜b3，∴b3=2，b1=
∴bn=22n-3，
∴an=3-2n，n∈N*．
解析
（1）证明：设{an}的公差为d，则
∴{bn}为以
（2）解：∵b1•b2•b3=
∵b1+b2+b3=
∴b1+b3=
由{bn}公比为q=
∴b1＜b3，∴b3=2，b1=
∴bn=22n-3，
∴an=3-2n，n∈N*．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列．
（1）若
（2）若
正确答案
解：（1）由A，B，C成等差数列，有2B=A+C
因为A，B，C为△ABC的内角，所以A+B+C=π．
所以
又
（2）因为B=
所以ac=3．
所以a2+c2-ac=a2+c2-3=3，所以a2+c2=6．
则a+c=
解析
解：（1）由A，B，C成等差数列，有2B=A+C
因为A，B，C为△ABC的内角，所以A+B+C=π．
所以
又
（2）因为B=
所以ac=3．
所以a2+c2-ac=a2+c2-3=3，所以a2+c2=6．
则a+c=
（2015秋•咸阳校级期中）等差数列{an}中，a3=7，a5=a2+6，则{an}的通项公式为______．
正确答案
an=2n+1
解析
解：设等差数列{an}公差为d，∵a3=7，a5=a2+6，
∴
解得d=2，a1=3．
∴an=3+2（n-1）=2n+1．
故答案为：an=2n+1．
等差数列{an}中，a1=23，公差d为整数，若a6＞0，a7＜0．
（1）求公差d的值；
（2）求通项an．
正确答案
解：（1）∵等差数列{an}中，a1=23，且a6=a1+5d＞0，a7=a1+6d＜0，
∴23+5d＞0，且23+6d＜0，
解得：-
∴d=-4；
（2）∵a1=23，d=-4，
∴通项公式an=a1+（n-1）d=23-4（n-1）=27-4n
解析
解：（1）∵等差数列{an}中，a1=23，且a6=a1+5d＞0，a7=a1+6d＜0，
∴23+5d＞0，且23+6d＜0，
解得：-
∴d=-4；
（2）∵a1=23，d=-4，
∴通项公式an=a1+（n-1）d=23-4（n-1）=27-4n
等差数列{an}的各项为正，其前n项和为Sn，且S3=9，又a1+2、a2+3、a3+7成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求证：当n≥2时，
正确答案
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵S3=9，∴a2=3，
∴a1+2=3-d+2=5-d，
a2+3=6，a3+7=3+d+7=10+d，
∵a1+2、a2+3、a3+7成等比数列，
∴（5-d）（10+d）=36，解得d=2，或d=-7（舍去），
an=3+（n-2）×2=2n-1．
（Ⅱ）∵
＜
∴当n≥2时，
＜1+
=1+
解析
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵S3=9，∴a2=3，
∴a1+2=3-d+2=5-d，
a2+3=6，a3+7=3+d+7=10+d，
∵a1+2、a2+3、a3+7成等比数列，
∴（5-d）（10+d）=36，解得d=2，或d=-7（舍去），
an=3+（n-2）×2=2n-1．
（Ⅱ）∵
＜
∴当n≥2时，
＜1+
=1+
已知不等式x2-2x-3＜0的整数解构成递增等差数列{an}前三项，则数列{an}的第四项为______．
正确答案
3
解析
解：由x2-2x-3＜0可得-1＜x＜3
∵x∈Z，则x=0，1，2．
由数列为递增数列，
从而可得该等差数列的前三项为0，1，2．
∴a4=3．
故答案为：3．
在单调递减等差数列{an}中，a4+a6=-4，a3•a7=-12，则an=______．
正确答案
-2n+8
解析
解：由等差数列的性质得，a4+a6=a3+a7=-4，
又a3•a7=-12，则a3和a7是方程x2+4x-12=0两个根，
解得a3=2、a7=-6或a3=-6、a7=2，
因为等差数列{an}单调递减，所以a3=2，a7=-6，
解得公差d=
故答案为：-2n+8．
已知数列an的前n项和为Sn．
（Ⅰ）若数列an是等比数列，满足2a1+a3=3a2，a3+2是a2，a4的等差中项，求数列an的通项公式；
（Ⅱ）是否存在等差数列ann∈N*，使对任意n∈N*都有an•Sn=2n2（n+1）？若存在，请求出所有满足条件的等差数列；若不存在，请说明理由．
正确答案
解：（Ⅰ）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，
以题意，有
由（1）得：q2-3q+2=0，解得q=1或q=2．
当q=1时，不合题意；
当q=2时，代入（2）得a1=2，所以
（Ⅱ）假设存在满足条件的数列{an}，设此数列的公差为d，
则
得：
则
解得：
当a1=2，d=2时，an=a1+（n-1）d=2+2（n-1）=2n；
当a1=-2，d=-2时，an=a1+（n-1）d=-2-2（n-1）=-2n．
故存在等差数列{an}，使对任意n∈N*都有
解析
解：（Ⅰ）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，
以题意，有
由（1）得：q2-3q+2=0，解得q=1或q=2．
当q=1时，不合题意；
当q=2时，代入（2）得a1=2，所以
（Ⅱ）假设存在满足条件的数列{an}，设此数列的公差为d，
则
得：
则
解得：
当a1=2，d=2时，an=a1+（n-1）d=2+2（n-1）=2n；
当a1=-2，d=-2时，an=a1+（n-1）d=-2-2（n-1）=-2n．
故存在等差数列{an}，使对任意n∈N*都有
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