- 等差数列
- 共11217题
已知数列{an}的前n项和
（1）求数列的通项公式；
（2）求Sn的最值．
正确答案
解：（1）由题意可得当n=1时，a1=S1=-44，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-45n-（n-1）2+45（n-1）=2n-46，
显然a1=-44满足上式，
∴数列{an}的通项公式为an=2n-46；
（2）由（1）和等差数列的求和公式可得Sn=
由二次函数可知当n=22或23时，Sn取最小值为-506，无最大值．
解析
解：（1）由题意可得当n=1时，a1=S1=-44，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-45n-（n-1）2+45（n-1）=2n-46，
显然a1=-44满足上式，
∴数列{an}的通项公式为an=2n-46；
（2）由（1）和等差数列的求和公式可得Sn=
由二次函数可知当n=22或23时，Sn取最小值为-506，无最大值．
在等差数列{an}中，已知a2+a5+a8=9，a3a5a7=-21，求数列的通项公式．
正确答案
解：等差数列{an}中，∵a2+a5+a8=9，a3a5a7=-21，
∴
解得a5=3，d=±2；
∴当d=2时，a1=a5-4d=3-8=-5，
∴an=-5+2（n-1）=2n-7；
当d=-2时，a1=a5-4d=3-（-8）=11，
∴an=11-2（n-1）=13-2n；
综上，数列{an}的通项公式为an=2n-7或an=13-2n．
解析
解：等差数列{an}中，∵a2+a5+a8=9，a3a5a7=-21，
∴
解得a5=3，d=±2；
∴当d=2时，a1=a5-4d=3-8=-5，
∴an=-5+2（n-1）=2n-7；
当d=-2时，a1=a5-4d=3-（-8）=11，
∴an=11-2（n-1）=13-2n；
综上，数列{an}的通项公式为an=2n-7或an=13-2n．
若等差数列{an}和等比数列{bn}的首项均为1，且公差d＞0，公比q＞1，则集合{n|an=bn，n∈N*}的元素个数最多有______个．
正确答案
2
解析
解：根据题意，等差数列{an}与等比数列{bn}的通项公式分别为an=1+（n-1）d，bn=qn-1，且d＞0，q＞1；
∴点（n，an）在一条上升的直线上，点（n，bn）在一条向下凸的指数曲线上，这两条线最多有2个交点，
所以集合{n|an=bn，n∈N*}的元素最多有2个．
故答案为：2．
已知：公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3a4=117，a2+a5=22．求数列{an}的通项公式．
正确答案
解：在等差数列{an}中，a3+a4=a2+a5=22，a3•a4=117，
∴
∵公差d＞0，∴a3＜a4，
∴a3=9，a4=13；
即
解得
∴通项公式为an=1+4（n-1）=4n-3．
解析
解：在等差数列{an}中，a3+a4=a2+a5=22，a3•a4=117，
∴
∵公差d＞0，∴a3＜a4，
∴a3=9，a4=13；
即
解得
∴通项公式为an=1+4（n-1）=4n-3．
已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和为10，
（1）求数列{an}的通项公式及数列
（2）若a1，a2，a4恰为等比数列{bn}的前三项，记数列cn=an（cosnπ+bn），求{cn}的前n项和为Kn．
正确答案
解（1）∵
又
∴an=n，
∴
∴Tn=
（2）∵b1=a1=1，b2=a2=2，
∴
∴cn=n（-1）n+n×2n-1，
记
则
Bn=1+2×21+3×22+…n×2n-1=（n-1）2n+1．
Kn=
解析
解（1）∵
又
∴an=n，
∴
∴Tn=
（2）∵b1=a1=1，b2=a2=2，
∴
∴cn=n（-1）n+n×2n-1，
记
则
Bn=1+2×21+3×22+…n×2n-1=（n-1）2n+1．
Kn=
在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1=b1＞0，a3=b3＞0，a1≠a3，试比较a5与b5的大小．
正确答案
解：由题意知
又a1=b1＞0，a3=b3＞0，a1≠a3，
∴
∴a5＞b5．
解析
解：由题意知
又a1=b1＞0，a3=b3＞0，a1≠a3，
∴
∴a5＞b5．
在等差数列{an}中，a15=33，a25=66，则a35=______．
正确答案
99
解析
解：由等差数列的性质可知，a15，a25，a35成等差数列
∴2a25=a15+a35
∵a15=33，a25=66，
∴a35=2×66-33=99．
故答案为：99
已知等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则a12的值是______．
正确答案
15
解析
解：设公差等于d，由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，即 a1+7d=8．
再由a4=1=a1+3d，可得 a1=-
故 a12 =a1+11d=-
故答案为 15．
在等差数列{an}中，若a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，则a3+a6+a9的值为______．
正确答案
27
解析
解：法一：因为a1，a4，a7成等差数列，
所以a1+a7=2a4，得a4=13．
同理a2+a8=2a5，得a5=11，从而a6=a5+（a5-a4）=9，故a3+a6+a9=3a6=27．
法二：由{an}为等差数列可知，三个数a1+a4+a7，a2+a5+a8，a3+a6+a9也成等差数列，
且公差d=33-39=-6，因而a3+a6+a9=33+（-6）=27．
故答案为：27
对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23
正确答案
9
解析
解：由题意可得m3的“分裂”数为m个连续奇数，
设m3的“分裂”数中第一个数为am，
则由题意可得a3-a2=7-3=4=2×2，
a4-a3=13-7=6=2×3，
…am-am-1=2（m-1），
以上m-2个式子相加可得am-a2=
∴am=a2+（m+1）（m-2）=m2-m+1，
∴当m=9时，am=73，即73是93的“分裂”数中的第一个
故答案为：9
扫码查看完整答案与解析