- 等差数列
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定义在R上的函数f（x），对任意实数x∈R，都有f（x+1）=f（x）+1成立，且f（1）=2，记an=f（n）（n∈N*），则a2010=______．
正确答案
2011
解析
解：∵an=f（n），f（x+1）=f（x）+1
∴an+1=an+1，又知a1=f（1）=2，所以有等差数列的定义，
可知数列{an}是以首项为2，公差为1的等差数列．
∴an=2+（n-1）×1=n+1，
∴a2010=2011．
故答案为 2011．
甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动．甲第一分钟走2m，以后每分钟比前一分钟多走1m，乙每分钟都是走5m．
（1）问：甲、乙开始运动后几分钟第一次相遇？
（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，双方仍按原来的运动方式运动，那么从一开始运动后几分钟第二次相遇？
正确答案
解：（1）设甲、乙开始运动后n分钟第一次相遇．
依题意，甲每分钟走的路程构成等差数列{an}．
其中a1=2，d=1，故n分钟内甲走了
∴
答：甲、乙开始运动后7分钟第一次相遇；
（2）由（1）知第二次相遇时两人共走了3×70米．
故
答：从一开始运动后15分钟甲乙第二次相遇．
解析
解：（1）设甲、乙开始运动后n分钟第一次相遇．
依题意，甲每分钟走的路程构成等差数列{an}．
其中a1=2，d=1，故n分钟内甲走了
∴
答：甲、乙开始运动后7分钟第一次相遇；
（2）由（1）知第二次相遇时两人共走了3×70米．
故
答：从一开始运动后15分钟甲乙第二次相遇．
在等差数列{an}中，a2=5，a6=21，记数列
正确答案
5
解析
解：在等差数列{an}中，∵a2=5，a6=21，
∴
解得a1=1，d=4，
∴
∵（S2n+1-Sn）-（S2n+3-Sn+1）
=（
=
=
=（
∴数列{S2n+1-Sn}（n∈N*）是递减数列，
数列{S2n+1-Sn}（n∈N*）的最大项为S3-S1=
∵
又∵m是正整数，
∴m的最小值为5．
故答案为：5．
在等差数列{an}中，a2，a16是方程x2-6x-3=0的两根，则a5+a9+a13=______．
正确答案
9
解析
解：∵a2，a16是方程x2-6x-3=0的两根，
∴由韦达定理可得a2+a16=6，
由等差数列的性质可得2a9=a2+a16=6，
解得a9=3，
∴a5+a9+a13=3a9=9，
故答案为：9．
设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn+1，数列{bn}满足a1=b1，点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设
正确答案
解：（Ⅰ）由an+1=2Sn+1可得an=2Sn-1+1（n≥2），
两式相减得an+1-an=2an，
an+1=3an（n≥2）．
又a2=2S1+1=3，
所以a2=3a1．
故{an}是首项为1，公比为3的等比数列．
所以an=3n-1．
由点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，所以bn+1-bn=2．
则数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
则bn=1+（n-1）•2=2n-1
（Ⅱ）因为
则
两式相减得：
所以
解析
解：（Ⅰ）由an+1=2Sn+1可得an=2Sn-1+1（n≥2），
两式相减得an+1-an=2an，
an+1=3an（n≥2）．
又a2=2S1+1=3，
所以a2=3a1．
故{an}是首项为1，公比为3的等比数列．
所以an=3n-1．
由点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，所以bn+1-bn=2．
则数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
则bn=1+（n-1）•2=2n-1
（Ⅱ）因为
则
两式相减得：
所以
已知递增的等差数列{an}满足a1=1，a3=a22-4，则an=______．
正确答案
2n-1
解析
解：由于等差数列{an}满足a1=1，
所以1+2d=（1+d）2-4，解得d=±2
又递增的等差数列{an}，可得d=2
所以an=1+2（n-1）=2n-1
故答案为：2n-1．
等差数列{an}中，a2=9，a5=33，则数列{an}的通项an=______．
正确答案
8n-7
解析
解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则由a2=9，a5=33，得
所以a1=a2-d=9-8=1．
所以an=a1+（n-1）d=1+8（n-1）=8n-7．
故答案为8n-7．
（2015春•安庆期末）等差数列{an}中，a4=5，则2a1-a5+a11=______．
正确答案
10
解析
解：∵数列{an}是等差数列，且a4=5，
∴2a1-a5+a11=2a1-a1-4d+a1+10d=2（a1+3d）=2a4=2×5=10．
故答案为：10．
已知数列{an}的前n项和Sn=n2，则a10=______．
正确答案
19
解析
解：当n=1时，S1=12=1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-（n-1）2=2n-1，
又n=1时，a1=2-1=1，满足通项公式，
∴此数列为等差数列，其通项公式为an=2n-1，
则a10=2×10-1=19．
故答案为：19．
成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列．求这三个正数．
正确答案
解：设成等差数列的三个正数分别为a-d，a，a+d，
依题意，得a-d+a+a+d=15，解得a=5．
∴{bn}中的三个数依次为7-d，10，18+d．
依题意，有（7-d）（18+d）=100，解得d=2或d=-13（舍去）．
∴三个正数为3，5，7．
解析
解：设成等差数列的三个正数分别为a-d，a，a+d，
依题意，得a-d+a+a+d=15，解得a=5．
∴{bn}中的三个数依次为7-d，10，18+d．
依题意，有（7-d）（18+d）=100，解得d=2或d=-13（舍去）．
∴三个正数为3，5，7．
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