等差数列_章节学习

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题型：填空题

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填空题

在等差数列{an}中，若a8=-3，a10=1，am=9，则正整数m=______．

正确答案

14

解析

解：∵在等差数列{an}中，若a8=-3，a10=1，

∴等差数列{an}的公差d==2，

∵am=9，∴am=a10+（m-10）d，

代入数据可得9=1+2（m-10），

解得m=14，

故答案为：14．

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题型：填空题

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填空题

数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n，则它的通项公式是______．

正确答案

an=6n-5

解析

解：由数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n，

当n=1时，；

当n≥2时，=6n-5．

当n=1时an=6n-5成立．

∴数列{an}的通项公式是an=6n-5．

故答案为：an=6n-5．

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题型：简答题

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简答题

设数列{an}{bn}的各项都是正数，Sn为数列{an}的前n项和，且对任意n∈N*．都有，b1=e，．cn=an•lnbn（e是自然对数的底数，e=2.71828…）

（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；

（2）求数列{cn}的前n项和Tn；

（3）试探究是否存在整数λ，使得对于任意n∈N*，不等式恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（1）因为an＞0，，①

当n=1时，，解得a1=1；

当n≥2时，有，②

由①-②得，．

即（an+an-1）（an-an-1）=an+an-1．

因为an＞0，所以an-an-1=1（n≥2），即数列{an}是等差数列，

所以an=a1+（n-1）d=1+n-1=n．

又因为，且bn＞0，取自然对数得lnbn+1=2lnbn，

由此可知数列{lnbn}是以lnb1=lne=1为首项，以2为公比的等比数列，

所以，

所以．

（2）由（1）知，，

所以 ③

④

由③-④得，

所以．

（3）由an=n，得，

由可得，

即使得对于任意n∈N*且n≥2，不等式恒成立等价于使得对于

任意n∈N*且n≥2，不等式恒成立．

∵．

又令，

由

可得，

化简得：，

解得2≤n≤3，所以当n=2或3时，g（n）取最小值，最小值为，

所以λ=2时，原不等式恒成立．

解析

解：（1）因为an＞0，，①

当n=1时，，解得a1=1；

当n≥2时，有，②

由①-②得，．

即（an+an-1）（an-an-1）=an+an-1．

因为an＞0，所以an-an-1=1（n≥2），即数列{an}是等差数列，

所以an=a1+（n-1）d=1+n-1=n．

又因为，且bn＞0，取自然对数得lnbn+1=2lnbn，

由此可知数列{lnbn}是以lnb1=lne=1为首项，以2为公比的等比数列，

所以，

所以．

（2）由（1）知，，

所以 ③

④

由③-④得，

所以．

（3）由an=n，得，

由可得，

即使得对于任意n∈N*且n≥2，不等式恒成立等价于使得对于

任意n∈N*且n≥2，不等式恒成立．

∵．

又令，

由

可得，

化简得：，

解得2≤n≤3，所以当n=2或3时，g（n）取最小值，最小值为，

所以λ=2时，原不等式恒成立．

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题型：填空题

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填空题

等差数列{an}中，a1=2，a2=5，则a5=_______．

正确答案

14

解析

解：在等差数列{an}中，由a1=2，a2=5，得d=a2-a1=5-2=3，

则a5=a1+4d=2+4×3=14．

故答案为：14．

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题型：填空题

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填空题

若{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若S4=3，S8=9，则a17+a18+a19+a20=______．

正确答案

15．

解析

解：等差数列{an}中，其前n项和为Sn，

且S4=3，S8=9，

∴a1+a2+a3+a4=3，

a5+a6+a7+a8=S8-S4=6，

4d+4d+4d+4d=6-3=3，

∴16d=3；

∴a17+a18+a19+a20=（a1+16d）+（a2+16d）+（a3+16d）+（a4+16d）

=（a1+a2+a3+a4）+4×16d

=3+4×3

=15．

故答案为：15．

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题型：填空题

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填空题

在等差数列{an}中，若a2=3，a3+a7=26，则a8=______．

正确答案

23

解析

解：∵{an}为等差数列，且a2=3，a3+a7=26

由等差数列的性质可知，a3+a7=2a5=26

∴a5=13

d==

a8=a5+3d=13=23

故答案为：23

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题型：填空题

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填空题

已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC三条边的长度分别为______，其面积是______．

正确答案

6，10，14

解析

解：设三角形的三边分别为x-4，x，x+4，

则cos120°==-，

化简得：x-16=4-x，解得x=10，

∴三角形的三边分别为：6，10，14，

则△ABC的面积S=×6×10sin120°=15．

故答案为：6，10，14；15．

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题型：填空题

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填空题

已知数列{an}是等差数列，公差d不为0，Sn是其前n项和，若a3，a4，a8成等比数列，则下列四个结论

①a1d＜0；②dS4＜0；③S8=-20S4；④等比数列a3，a4，a8的公比为4．其中正确的是______．（请把正确结论的序号全部填上）

正确答案

①②④

解析

解：由a3，a4，a8成等比数列，得，

∴，

整理得：．

∴，①正确；

=，②正确；

=，=，③错误；

等比数列a3，a4，a8的公比为q=，④正确．

故答案为：①②④．

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题型：填空题

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填空题

已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n，则它的公差d为______．

正确答案

-2

解析

解：∵等差数列{an}的通项公式为an=3-2n，

∴公差d=an+1-an=[3-2（n+1）]-（3-2n）=-2

故答案为：-2

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题型：简答题

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简答题

已知数列{an}是由正数组成的等差数列，Sn是其前n项的和，并且a3=5，a4S2=28．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求使不等式对一切n∈N*均成立的最大实数a；

（3）对每一个k∈N*，在ak与ak+1之间插入2k-1个2，得到新数列{bn}，设Tn是数列{bn}的前n项和，试问是否存在正整数m，使Tm=2008？若存在求出m的值；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（1）设{an}的公差为d，由题意d＞0，且（2分）

a1=1，d=2，数列{an}的通项公式为an=2n-1（4分）

（2）由题意对n∈N*均成立（5分）

记

则

∵F（n）＞0，∴F（n+1）＞F（n），∴F（n）随n增大而增大（8分）

∴F（n）的最小值为

∴，即a的最大值为（9分）

（3）∵an=2n-1

∴在数列{bn}中，am及其前面所有项之和为[1+3+5++（2m-1）]+（2+22++2m-1）=m2+2m-2（11分）

∵102+210-2=1122＜2008＜112+211-2=2156，即a10＜2008＜a11（12分）

又a10在数列{bn}中的项数为：10+1+2++28=521（14分）

且2008-1122=886=443×2，

所以存在正整数m=521+443=964使得Sm=2008（16分）

解析

解：（1）设{an}的公差为d，由题意d＞0，且（2分）

a1=1，d=2，数列{an}的通项公式为an=2n-1（4分）

（2）由题意对n∈N*均成立（5分）

记

则

∵F（n）＞0，∴F（n+1）＞F（n），∴F（n）随n增大而增大（8分）

∴F（n）的最小值为

∴，即a的最大值为（9分）

（3）∵an=2n-1

∴在数列{bn}中，am及其前面所有项之和为[1+3+5++（2m-1）]+（2+22++2m-1）=m2+2m-2（11分）

∵102+210-2=1122＜2008＜112+211-2=2156，即a10＜2008＜a11（12分）

又a10在数列{bn}中的项数为：10+1+2++28=521（14分）

且2008-1122=886=443×2，

所以存在正整数m=521+443=964使得Sm=2008（16分）

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