热门试卷

证明：用数学归纳法，

当n=2时，∵a+c=2b，

∴（a+c）2=4b2，

∴a2+c2+2ac=4b2，

即2（a2+c2）≥4b2，

∴a2+c2≥2b2； 

假设n=k时成立，即ak+ck≥2bk； 

那么，当n=k+1时，且由2b=a+c，得 

ak+1+ck+1-2bk+1=ak+1+ck+1-（a+c）•bk； 

结合上边的假设ak+ck≥2bk，得

ak+1+ck+1-（a+c）•bk≥ak+1+ck+1-（a+c）•=≥0，

即ak+1+ck+1-2bk+1≥0，

∴ak+1+ck+1≥2bk+1；

所以n=k+1时也成立，

由以上归纳假设得到 

an+cn≥2bn （n≥2）．

解：（1）证明∵2an=an+1+an-1（n≥2，n∈N*），

∴an+1-an=an-an-1

∴{an}是等差数列．

又∵a1=，a2=，∴an=+（n-1）•=，

（2）证明：∵bn=bn-1+（n≥2，n∈N*），

∴bn+1-an+1=bn+-=bn-

=（bn-）=（bn-an）．

又∵b1-a1=b1-≠0，

∴{bn-an}是以b1-为首项，以为公比的等比数列．

解：（1）∵由 a1=2，a17=66，可得a17=a1+（17-1）d，

∴d===4，

∴an=a1 +（n-1）d=2+（n-1）•4=4n-2．  …（6分）

（2）令an=88，即4n-2=88得n=，由于 n∉N+．

∴88不是数列{an}中的项．…（12分）

解：在等差数列{an}中，由a3=5，a8=20，得，

∴an=a3+（n-3）d=5+3（n-3）=3n-4．

解：∵等差数列{an}中，，

∴，

解得a1=-3，n=10．

解：（Ⅰ）设等差数列{bn}的公差为d（d≠0），，因为b1=1，则，即2+（n-1）d=4k+2k（2n-1）d．

整理得，（4k-1）dn+（2k-1）（2-d）=0．

因为对任意正整数n上式恒成立，则，解得．

故数列{bn}的通项公式是bn=2n-1．

（Ⅱ）由已知，当n=1时，c13=S12=c12．因为c1＞0，所以c1=1．

当n≥2时，c13+c23+c33++cn3=Sn2，c13+c23+c33++cn-13=Sn-12．

两式相减，得cn3=Sn2-Sn-12=（Sn-Sn-1）（Sn+Sn-1）=cn•（Sn+Sn-1）．

因为cn＞0，所以cn2=Sn+Sn-1=2Sn-cn．

显然c1=1适合上式，所以当n≥2时，cn-12=2Sn-1-cn-1．

于是cn2-cn-12=2（Sn-Sn-1）-cn+cn-1=2cn-cn+cn-1=cn+cn-1．

因为cn+cn-1＞0，则cn-cn-1=1，所以数列{cn}是首项为1，公差为1的等差数列．

所以不为常数，故数列{cn}不是“科比数列”．