- 等差数列
- 共11217题
已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若从{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2*项，…按原来顺序组成一个新数列{bn}，试证明数列{bn}是等比数列．
正确答案
解：（1）因为数列{an}是等差数列，
由a1+a2+a3=12可得3a2=12，即a2=4，
又a1=2，∴公差d=a2-a1=4-2=2，
所以数列{an}的通项公式为：an=2n …（4分）
（2）由（1）可得
当n≥2时，
所以数列{bn}是首项为4，公比为2的等比数列 …（8分）
解析
解：（1）因为数列{an}是等差数列，
由a1+a2+a3=12可得3a2=12，即a2=4，
又a1=2，∴公差d=a2-a1=4-2=2，
所以数列{an}的通项公式为：an=2n …（4分）
（2）由（1）可得
当n≥2时，
所以数列{bn}是首项为4，公比为2的等比数列 …（8分）
已知数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）在函数f（x）=3x2-2x的图象上，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设
正确答案
解：（1）∵点（n，Sn）在函数f（x）=3x2-2x的图象上
∴Sn=3n2-2n，
当n≥2时，an=sn-sn-1=6n-5
当n=1时，也符合上式
∴an=6n-5-----（4分）
（2）
∴Tn=
∴|Tn-
∴n＞
又∵n∈Z
∴n的最小值为9．
解析
解：（1）∵点（n，Sn）在函数f（x）=3x2-2x的图象上
∴Sn=3n2-2n，
当n≥2时，an=sn-sn-1=6n-5
当n=1时，也符合上式
∴an=6n-5-----（4分）
（2）
∴Tn=
∴|Tn-
∴n＞
又∵n∈Z
∴n的最小值为9．
等差数列{an}的前7项和等于前2项和，若a1=1，ak+a4=0，则k=______．
正确答案
6
解析
解：设等差数列的公差为d，设其前n项和为Sn．
由S7=S2，得
即7×1+21d=2+d，解得d=
再由
解得：k=6．
故答案为6．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=1，b=
正确答案
解析
解：∵A，B，C成等差数列，
∴A+C=2B，
又A+B+C=π，
∴3B=π，B=
由正弦定理：
∵a＜b，
∴A=
∴△ABC是以角C为直角的直角三角形．
∴
故答案为：
已知数列{an}的前n项和Sn=n2+3n+1，则通项an=______．
正确答案
解析
解：a1=S1=1+3+1=5，
an=Sn-Sn-1=（n2+3n+1）-[（n-1）2+3（n-1）1]=2n+2，
当n=1时，2n+2=4≠a1，
∴
故答案为：
等差数列{an}中，若a2，a2014为方程x2-10x+16=0的两根，则a1+a1008+a2015=______．
正确答案
15
解析
解：∵a2，a2014为方程x2-10x+16=0的两根，
∴a2+a2014=10=2a1008，
解得a1008=5，
∵数列{an}是等差数列，
∴a1+a1008+a2015=3a1008=15．
故答案为：15．
等差数列-3，1，5，…的前几项和是150？
正确答案
解：由等差数列-3，1，5，…，可得a1=-3，公差d=1-（-3）=4．
∴Sn=-3n+
令2n2-5n=150，解得n=10．
∴该数列的前10项和是150．
答：该数列的前10项和是150．
解析
解：由等差数列-3，1，5，…，可得a1=-3，公差d=1-（-3）=4．
∴Sn=-3n+
令2n2-5n=150，解得n=10．
∴该数列的前10项和是150．
答：该数列的前10项和是150．
（2015春•武汉校级期末）在等差数列{an}中，若a1+a2+a14+a15=24，则a8=______．
正确答案
6
解析
解：由等差数列的性质可得a1+a15=a2+a14=2a8，
又∵a1+a2+a14+a15=24，
∴4a8=24
解得a8=6
故答案为：6
数列{an}是公差为正数的等差数列，a1=f（x-1），a2=0，a3=f（x+1），其中f（x）=x2-4x+2，则数列{an}的通项公式an=______．
正确答案
2n-4
解析
解：因为f（x）=x2-4x+2，
所以a1=f（x-1）=（x-1）2-4（x-1）+2=x2-6x+7，
a3=f（x+1）=（x+1）2-4（x+1）+2=x2-2x-1，
由数列{an}是公差为正数的等差数列，
所以
=2x2-8x+6=0．
解得：x=1或x=3．
当x=1时，
当x=3时，
所以数列{an}是以-2为首项，以2为公差的等差数列．
所以an=a1+（n-1）d=-2+2（n-1）=2n-4．
故答案为2n-4．
（1）设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，求证：
（2）△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，求证：B＜
正确答案
证明：（1）∵非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，
∴x=
又∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，
∴
=
（2）反证法：假设B≥
∴b＞a，b＞c．∴
∴
这与已知
∴假设不成立，∴B＜
解析
证明：（1）∵非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，
∴x=
又∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，
∴
=
（2）反证法：假设B≥
∴b＞a，b＞c．∴
∴
这与已知
∴假设不成立，∴B＜
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