- 等差数列
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数列{an}的前n项和Sn=3n-n2，则an=______．
正确答案
-2n+4
解析
解：由数列{an}的前n项和Sn=3n-n2，
当n=1时，
当n≥2时，
此式对于n=1成立．
∴an=-2n+4．
故答案为-2n+4．
已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足6Sn=an2+3an+2，且a1，a3，a11成等比数列，则数列{an}的通项为______．
正确答案
an=3n-1
解析
解：∵6Sn=an2+3an+2，①
∴6Sn+1=an+12+3an+1+2，②
②-①得到6an+1=an+12+3an+1-an2-3an
∴3（an+1+an）=（an+1-an）（an+1+an）
∵正项数列{an}，
∴an+1-an=3或an+1+an=0
∴数列是一个公差为3的等差数列，
∵6a1=a12+3a1+2
∴a1=1或2，
∵a1，a3，a11成等比数列
∴当a1=1时，1，7，31不成等比数列，
首项等于2时，2，8，32成等比数列，
∴首项等于2，
∴数列的通项是an=3n-1
故答案为：an=3n-1
设数列{an}满足a1=6，a2=4，a3=3，且数列{an+1-an}（n∈N*）是等差数列，则数列{an}的通项公式为______．
正确答案
an=
解析
解：a2-a1=4-6=-2
a3-a2=3-4=-1
∴d=（a3-a2）-（a2-a1）=-1-（-2）=1
∵数列{an+1-an}（n∈N*）是等差数列
∴数列{an+1-an}的首项为-2，公差为1的等差数列
则an+1-an=n-3，则a2-a1=4-6=-2，a3-a2=3-4=-1，…an-an-1=n-4
相加得an=6+（-2）+（-1）+…+（n-4）=
故答案为：an=
已知三个数成等差数列，它们的和为15，且第三个数与第二个数的平方差为56，求这三个数．
正确答案
解：设这三个数为a-d，a，a+d，
由已知可得：
即
故这三个数分别为：1，5，9或19，5，-9．
解析
解：设这三个数为a-d，a，a+d，
由已知可得：
即
故这三个数分别为：1，5，9或19，5，-9．
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=5，S6=36．
（Ⅰ）求数列{an}的通项an；
（Ⅱ）设
正确答案
解：（Ⅰ）由
∴an=1+（n-1）d
（Ⅱ）bn=2n
∴{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴Tn=b1+b2++bn=2+22+23++2n=2n+1-2
解析
解：（Ⅰ）由
∴an=1+（n-1）d
（Ⅱ）bn=2n
∴{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴Tn=b1+b2++bn=2+22+23++2n=2n+1-2
已知数列{an}的前n项和为
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）记
正确答案
解：（Ⅰ）当n≥2时，
当n=1，a1=S1=1，满足上式
∴an=n（n∈N*）②
（Ⅱ）由
Tn=2+2•22+3•23++（n-1）•2n-1+n•2n ①
2Tn=22+2•23+3•24++（n-1）•2n+n•2n+1 ②
①-②得，
-Tn=2+22+23++2n-1+2n-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1
∴Tn=（n-1）•2n+1+2．
解析
解：（Ⅰ）当n≥2时，
当n=1，a1=S1=1，满足上式
∴an=n（n∈N*）②
（Ⅱ）由
Tn=2+2•22+3•23++（n-1）•2n-1+n•2n ①
2Tn=22+2•23+3•24++（n-1）•2n+n•2n+1 ②
①-②得，
-Tn=2+22+23++2n-1+2n-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1
∴Tn=（n-1）•2n+1+2．
已知等差数列{an}中，a2=2，
正确答案
19
解析
解：∵等差数列{an}中，a2=2，
∴d=
∵
∴
即n=19
故答案为：19
等差数列{an}的前n项和为Sn，S9=-36，S13=-104，等比数列{bn}中，b5=a5，b7=a7，则b6的值为______．
正确答案
解析
解：由已知可得S9=
∴a5=-4，a7=-8
q2=
∴b6=b7÷q=
故答案为：
已知{an}是正数组成的数列，a1=1，且点（
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若列数{bn}满足b1=1，bn+1=bn+2an，求证：bn•bn+2＜bn+12．
正确答案
解：解法一：
（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1，
所以数列{an}是以1为首项，公差为1的等差数列．
故an=1+（n-1）×1=n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2n．
bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+（b2-b1）+b1
=2n-1+2n-2+…+2+1
=
∵bn•bn+2-bn+12=（2n-1）（2n+2-1）-（2n+1-1）2
=（22n+2-2n-2n+2+1）-（22n+2-2•2n+1+1）
=-2n＜0
∴bn•bn+2＜bn+12
解法二：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）∵b2=1
bn•bn+2-bn+12=（bn+1-2n）（bn+1+2n+1）-bn+12=2n+1•bn+1-2n•bn+1-2n•2n+1
=2n（bn+1-2n+1）
=2n（bn+2n-2n+1）
=2n（bn-2n）
=…
=2n（b1-2）
=-2n＜0
∴bn•bn+2＜bn+12
解析
解：解法一：
（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1，
所以数列{an}是以1为首项，公差为1的等差数列．
故an=1+（n-1）×1=n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2n．
bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+（b2-b1）+b1
=2n-1+2n-2+…+2+1
=
∵bn•bn+2-bn+12=（2n-1）（2n+2-1）-（2n+1-1）2
=（22n+2-2n-2n+2+1）-（22n+2-2•2n+1+1）
=-2n＜0
∴bn•bn+2＜bn+12
解法二：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）∵b2=1
bn•bn+2-bn+12=（bn+1-2n）（bn+1+2n+1）-bn+12=2n+1•bn+1-2n•bn+1-2n•2n+1
=2n（bn+1-2n+1）
=2n（bn+2n-2n+1）
=2n（bn-2n）
=…
=2n（b1-2）
=-2n＜0
∴bn•bn+2＜bn+12
数列{an}中相邻两项an与an+1是方程x2+3nx+bn=0的两根，已知a10=-17，则b51等于______．
正确答案
5840
解析
解：由韦达定理可知an+an+1=-3n，an•an+1=bn，
由an+an+1=-3n，可得an+1+an+2=-3（n+1），
∴an+2-an=-3，即{a2k}为等差数列，公差为d=-3，
又a10=-17，∴a2=-5，
∴a2k=-5-3（k-1），
∴a52=-5-3（26-1）=-80，
a51=-3×51-a52=80-153=-73，
∴b51=a51•a52=-73×（-80）=5840．
故答案为：5840
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