- 等差数列
- 共11217题
（理）已知数列{an}是等差数列，且a1=-2，a1+a2+a3=-12．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若b1=0，bn+1=7bn+6，n∈N*，求数列{an（bn+1）}的前n项和Tn的公式．
正确答案
解析
解：（1）由等差数列的性质可得a1+a2+a3=3a2=-12，
故可得a2=-4，故公差d=-4-（-2）=-2，
故数列{an}的通项公式为：an=-2-2（n-1）=-2n；
（2）由题意可得bn+1+1=7bn+7=7（bn+1），即
故数列{bn+1}是以b1+1=1为首项，7为公比的等比数列，
故bn+1=1×7n-1=7n-1，故an（bn+1）=-2n×7n-1，
所以Tn=-2（1×70+2×71+3×72+…+n×7n-1），①
同乘以7可得：7Tn=-2（1×71+2×72+3×73+…+n×7n），②
①-②可得-6Tn=-2（1+71+72+…+7n-1-n×7n），
故可得Tn=
（2015秋•永年县期末）已知在等差数列{an}中，数列的前n项和记为Sn，且S3=0，S5=-5．求{an}的通项公式．
正确答案
解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由题意得
解之得a1=1，d=-1，
故an=a1+（n-1）d=2-n．
解析
解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由题意得
解之得a1=1，d=-1，
故an=a1+（n-1）d=2-n．
数列{an}为递增等差数列，且a3•a6=55，a1+a8=16
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若
正确答案
解：（1）由题意可得a3•a6=55，a1+a8=16，
由等差数列的性质可得
设数列的公差为d，可得
故通项公式为：an=2n-1
（2）∵
从而
所以
经验证当n=1时，上式适合，
综上可得
解析
解：（1）由题意可得a3•a6=55，a1+a8=16，
由等差数列的性质可得
设数列的公差为d，可得
故通项公式为：an=2n-1
（2）∵
从而
所以
经验证当n=1时，上式适合，
综上可得
等差数列{an}中，a5=9，a3+a9=22．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若在数列{an}的每相邻两项an和an+1之间各插入一个数2n，使之成为新的数列{bn}，Sn为数列{bn}的前n项的和，求S20的值．
正确答案
解：（Ⅰ）设该等差数列的公差为d，依题意得：
解得：a1=1，d=2（4分）
所以数列an的通项公式为an=2n-1．（6分）
（Ⅱ）依题意得：s20=1+3+5+…+19+21+22+…+210=
解析
解：（Ⅰ）设该等差数列的公差为d，依题意得：
解得：a1=1，d=2（4分）
所以数列an的通项公式为an=2n-1．（6分）
（Ⅱ）依题意得：s20=1+3+5+…+19+21+22+…+210=
在数列{an}中，a1=2，an+1-an=1，则a10的值为______．
正确答案
11
解析
解：在数列{an}中，由an+1-an=1，
可知数列是以1为公差的等差数列，
又a1=2，
∴a10=a1+9d=2+9×1=11．
故答案为：11．
已知等差数列{an}和等比数列{bn}，a1=b1=1且a3+a5+a7=9，a7是b3和b7的等比中项．
（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若cn=2anbn2，求数列{cn}的前n项和Tn．
正确答案
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
由题意知：a3+a5+a7=9，
∴
∴
a7=4，∵a72=b3•b7=16，∴b52=b3•b7=16，∵b5∈N+，
∴
∴
（II）因为cn=2an•bn2=（n+1）•2n-1
所以Tn=c1+c2++cn=2+3•2+4•22+…+（n+1）•2n-1．（1）
2Tn=2•2+3•22+4•23+…+n•2n-1+（n+1）•2n．（2）
由（1）减（2），
得
∴Tn=n•2n
解析
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
由题意知：a3+a5+a7=9，
∴
∴
a7=4，∵a72=b3•b7=16，∴b52=b3•b7=16，∵b5∈N+，
∴
∴
（II）因为cn=2an•bn2=（n+1）•2n-1
所以Tn=c1+c2++cn=2+3•2+4•22+…+（n+1）•2n-1．（1）
2Tn=2•2+3•22+4•23+…+n•2n-1+（n+1）•2n．（2）
由（1）减（2），
得
∴Tn=n•2n
有穷数列{an}的前n项和Sn=2n2+n，现从中抽取某一项（不包括首项、末项）后，余下的项的平均值是79．
①求数列{an}的通项an；
②求这个数列的项数，抽取的是第几项？
正确答案
解：①由Sn=2n2+n得a1=S1=3，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=4n-1，显然满足n=1，
∴an=4n-1，
∴数列{an}是公差为4的递增等差数列．
②设抽取的是第k项，则Sn-ak=79（n-1），ak=（2n2+n）-79（n-1）=2n2-78n+79．
由
由ak=2n2-78n+79=2×392-78×39+79=4k-1⇒k=20．
故数列{an}共有39项，抽取的是第20项．
解析
解：①由Sn=2n2+n得a1=S1=3，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=4n-1，显然满足n=1，
∴an=4n-1，
∴数列{an}是公差为4的递增等差数列．
②设抽取的是第k项，则Sn-ak=79（n-1），ak=（2n2+n）-79（n-1）=2n2-78n+79．
由
由ak=2n2-78n+79=2×392-78×39+79=4k-1⇒k=20．
故数列{an}共有39项，抽取的是第20项．
（2014•兴安盟三模）等差数列{an}中，a1=1，a7=4，在等比数列{bn}中，b1=6，b2=a3，则满足bna26＜1的最小正整数n是______．
正确答案
6
解析
解：在等差数列{an}中，设其公差为d，由a1=1，a7=4，得
所以，
又在等比数列{bn}中，b1=6，b2=a3=2，所以其公比q=
所以，
由
所以，满足bna26＜1的最小正整数n是6．
故答案为6．
在等差数列{an}中，a8=9，a9=8，则a17=______．
正确答案
0
解析
解：设等差数列{an}的公差为d，∵a8=9，a9=8，
∴
解得d=-1，a1=16．
则a17=16-（17-1）=0．
故答案为：0．
已知点Pn（an，bn）（n∈N*）都在直线l：y=2x+2上，P1为直线l与x轴的交点，数列{an}成等差数列，公差为1．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若
正确答案
解（I）由题意知P1（-1，0）
∴a1=-1，b1=0
∴an=a1+（n-1）•1=-1+n-1=n-2
∴bn=2an+2=2（n-2）+2=2n-2…6
（Ⅱ）若k为奇数，则f（k）=ak=k-2f（k+5）=bk+5=2k+8
∴2k+8=2（k-2）-5无解
若k为偶数，则f（k）=2k-2，f（k+5）=k+3
∴k+3=2（2k-2）-5，解得k=4
综上，存在k=4使f（k+5）=2f（k）-5成立．
解析
解（I）由题意知P1（-1，0）
∴a1=-1，b1=0
∴an=a1+（n-1）•1=-1+n-1=n-2
∴bn=2an+2=2（n-2）+2=2n-2…6
（Ⅱ）若k为奇数，则f（k）=ak=k-2f（k+5）=bk+5=2k+8
∴2k+8=2（k-2）-5无解
若k为偶数，则f（k）=2k-2，f（k+5）=k+3
∴k+3=2（2k-2）-5，解得k=4
综上，存在k=4使f（k+5）=2f（k）-5成立．
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