- 等差数列
- 共11217题
等差数列{an}中，a2=9，a5=33，则{an}的公差d为______．
正确答案
8
解析
解：在等差数列{an}中，由a2=9，a5=33，
得{an}的公差d=
故答案为：8．
对于△ABC，有如下四个命题：
①若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；
②若
③若sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC为钝角三角形；
④若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，则△ABC为正三角形；
其中正确的命题是______．
正确答案
②④
解析
解：由sin2A=sin2B，则2A=2B，或2A=180°-2B，所以①不正确；
由
又A，B，C为三角形内角，所以A=B=C．所以②正确；
取A=30°，B=60°，C=90°，满足sin2A+sin2B+sin2C＜2，所以③不正确；
若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，
由三角函数的有界性可知三个都是1或者两个-1一个1
都是1显然成立，如果两个-1又不可能，所以命题是三角形为正三角形的充要条件，所以④正确．
故答案为②④．
已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为-4．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=（4-an）qn-1（q≠0，n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn．
正确答案
解：（1）设{an}的公差为d，
由已知得
解得a1=3，d=-1
故an=3+（n-1）（-1）=4-n；
（2）由（1）的解答得，bn=n•qn-1，于是
Sn=1•q0+2•q1+3•q2+…+n•qn-1．
若q≠1，将上式两边同乘以q，得
qSn=1•q1+2•q2+3•q3+…+n•qn．
将上面两式相减得到
（q-1）Sn=nqn-（1+q+q2+…+qn-1）
=nqn-
于是Sn=
若q=1，则Sn=1+2+3+…+n=
所以，Sn=
解析
解：（1）设{an}的公差为d，
由已知得
解得a1=3，d=-1
故an=3+（n-1）（-1）=4-n；
（2）由（1）的解答得，bn=n•qn-1，于是
Sn=1•q0+2•q1+3•q2+…+n•qn-1．
若q≠1，将上式两边同乘以q，得
qSn=1•q1+2•q2+3•q3+…+n•qn．
将上面两式相减得到
（q-1）Sn=nqn-（1+q+q2+…+qn-1）
=nqn-
于是Sn=
若q=1，则Sn=1+2+3+…+n=
所以，Sn=
设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数．
正确答案
解：设等差数列{an}项数为2n+1，
S奇=a1+a3+…+a2n+1=
S偶=a2+a4+a6+…+a2n=
∴
∴项数2n+1=7，
又因为S奇-S偶=an+1=a中，
所以a4=S奇-S偶=44-33=11，
所以中间项为11．
解析
解：设等差数列{an}项数为2n+1，
S奇=a1+a3+…+a2n+1=
S偶=a2+a4+a6+…+a2n=
∴
∴项数2n+1=7，
又因为S奇-S偶=an+1=a中，
所以a4=S奇-S偶=44-33=11，
所以中间项为11．
已知等差数列{an}：3，7，11，15，…
（1）135，4m+19（m∈N*）是{an}中的项吗？试说明理由．
（2）若ap，aq（p，q∈N*）是数列{an}中的项，则2ap+3aq是数列{an}中的项吗？试说明你的理由．
正确答案
解：由等差数列的前几项为3，7，11，15，…
可知首项a1=3，公差d=4，
∴数列{an}的通项公式为an=3+4（n-1）=4n-1，
（1）由4n-1=135，解得：n=34，∴135是数列{an}中的第34项；
由4n-1=4m+19，解得：n=m+5，∴4m+19是数列{an}中的第m+5项．
（2）∵ap，aq（p，q∈N*）是数列{an}中的项，∴ap=4p-1，aq=4q-1，
则2ap+3aq =2（4p-1）+3（4q-1）=8p+12q-5=4（2p+3q-1）-1．
∴2ap+3aq是数列{an}中的第2p+3q-1项．
解析
解：由等差数列的前几项为3，7，11，15，…
可知首项a1=3，公差d=4，
∴数列{an}的通项公式为an=3+4（n-1）=4n-1，
（1）由4n-1=135，解得：n=34，∴135是数列{an}中的第34项；
由4n-1=4m+19，解得：n=m+5，∴4m+19是数列{an}中的第m+5项．
（2）∵ap，aq（p，q∈N*）是数列{an}中的项，∴ap=4p-1，aq=4q-1，
则2ap+3aq =2（4p-1）+3（4q-1）=8p+12q-5=4（2p+3q-1）-1．
∴2ap+3aq是数列{an}中的第2p+3q-1项．
已知首项a1=1，公差d=-2的等差数列{an}，当an=-27时，n=______．
正确答案
15
解析
解：在等差数列{an}中，
∵a1=1，d=-2，
∴an=a1+（n-1）d=1-2（n-1）=-2n+3，
由an=-27，得-2n+3=-27，解得n=15．
故答案为：15．
已知数列{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，其中a1=3，b1=1，a2=b2，3a5=b3，若存在常数u，v对任意正整数n都有an=3logubn+v，则u+v=______．
正确答案
6
解析
解：设{an}的公差为d，，{bn}的公比为q，
∵a1=3，b1=1，a2=b2，3a5=b3，
∴a2=3+d=q=b2，
3a5=3（3+4d）=q2=b3，
解方程得q=3，或q=9，
当q=3时，d=0，不符合题意，故舍去；
当q=9时，d=6．
an=3+（n-1）×6=6n-3，bn=qn-1=9n-1．
∵an=3logubn+v=
∴6n-3-v=
当n=1时，3-v=logu1=0，
∴v=3．
当n=2时，12-3-3=
u6=93，u=3，
∴u+v=6．
故答案为：6．
等差数列{an}中，a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为sn．．
（1）求an及sn；
（2）令
正确答案
解：（1）设等差数列{an}的公差为d，可得
∴an=3+（n-1）×2=2n+1
Sn=
（2）∵an=2n+1，可得
∴
由此可得{bn}的前n项和为
Tn=
解析
解：（1）设等差数列{an}的公差为d，可得
∴an=3+（n-1）×2=2n+1
Sn=
（2）∵an=2n+1，可得
∴
由此可得{bn}的前n项和为
Tn=
设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn．
（Ⅰ）若a11=0，S14=98，求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列{an}的通项公式．
正确答案
解：（Ⅰ）由S14=98得2a1+13d=14，
又a11=a1+10d=0，
∴解得d=-2，a1=20．
∴{an}的通项公式是an=22-2n，
（Ⅱ）由
得
即
由①+②得-7d＜11．
即d＞-
由①+③得13d≤-1
即d≤-
于是-
又d∈Z，故
d=-1 ④
将④代入①②得10＜a1≤12．
又a1∈Z，故a1=11或a1=12．
∴所有可能的数列{an}的通项公式是
an=12-n和an=13-n，
解析
解：（Ⅰ）由S14=98得2a1+13d=14，
又a11=a1+10d=0，
∴解得d=-2，a1=20．
∴{an}的通项公式是an=22-2n，
（Ⅱ）由
得
即
由①+②得-7d＜11．
即d＞-
由①+③得13d≤-1
即d≤-
于是-
又d∈Z，故
d=-1 ④
将④代入①②得10＜a1≤12．
又a1∈Z，故a1=11或a1=12．
∴所有可能的数列{an}的通项公式是
an=12-n和an=13-n，
已知数列{an} 满足an+1-an=2，且a3=8，则a6=______．
正确答案
14
解析
解：由题意知，an+1-an=2，
所以数列{an}是以2为公差的等差数列，
又a3=8，所以a6=a3+3d=8+6=14，
故答案为：14．
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