等差数列_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知等差数列{an}中；

（1）a1=，d=-，Sm=-15，求m以及am；

（2）a1=1，an=-512，Sn=-1022，求d；

（3）S5=24，求a2+a4．

正确答案

解：（1）∵在等差数列{an}中a1=，d=-，

∴Sm=m+（-）=-15，

解得m=12，或m=-5（舍去）

∴am=a12=+11×（-）=-4

（2）∵在等差数列{an}中a1=1，

∴an=1+（n-1）d=-512，

Sn=n+d=-1022，

解得n=4，d=-171；

（3）∵在等差数列{an}中S5=（a1+a5）=24，

∴a2+a4=a1+a5=

解析

解：（1）∵在等差数列{an}中a1=，d=-，

∴Sm=m+（-）=-15，

解得m=12，或m=-5（舍去）

∴am=a12=+11×（-）=-4

（2）∵在等差数列{an}中a1=1，

∴an=1+（n-1）d=-512，

Sn=n+d=-1022，

解得n=4，d=-171；

（3）∵在等差数列{an}中S5=（a1+a5）=24，

∴a2+a4=a1+a5=

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题型：简答题

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简答题

成等差数列的四个数的和为28，第二数与第三数之积为40，求这四个数．

正确答案

解：设四个数分别为a-3d，a-d，a+d，a+3d，

由题意得，解得或．

∴这四个数分别为：16，10，4，-2或-2，4，10，16．

解析

解：设四个数分别为a-3d，a-d，a+d，a+3d，

由题意得，解得或．

∴这四个数分别为：16，10，4，-2或-2，4，10，16．

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题型：简答题

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简答题

已知f（x+1）=x2-4，等差数列{an}中，a1=f（x-1），a2=-，a3=f（x）

（1）求x的值和数列{an}的通项公式an；

（2）求a2+a5+a8+…+a26的值．

正确答案

（1）∵f（x+1）=（x+1-1）2-4，∴f（x）=（x-1）2-4

∴a1=f（x-1）=（x-2）2-4，a3=（x-1）2-4．

又a1+a3=2a2，∴x=0，或x=3，

∴a1，a2，a3分别是0，-，-3或-3，-，0．

∴

（2）∵从数列中取出的这几项仍是等差数列，

∴，

]

=-，

当，

a2+a5+…+a26

=

=．

解析

（1）∵f（x+1）=（x+1-1）2-4，∴f（x）=（x-1）2-4

∴a1=f（x-1）=（x-2）2-4，a3=（x-1）2-4．

又a1+a3=2a2，∴x=0，或x=3，

∴a1，a2，a3分别是0，-，-3或-3，-，0．

∴

（2）∵从数列中取出的这几项仍是等差数列，

∴，

]

=-，

当，

a2+a5+…+a26

=

=．

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题型：填空题

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填空题

一个3×3正方形数表中，每一行的三数分别顺次成等差数列，每一列的三数顺次成等比数列，且公比相同．部分数据如图所示，则表中的a=______．

正确答案

6或-2

解析

解：设公比为q，所以第一行的三个数分别为：，

所以，解得q=2或q=-．

因为a=3q，所以a=6或-2．

故答案为6或-2．

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题型：填空题

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填空题

等差数列中a2与a6的等差中项为5，a3与a7的等差中项为7，则an=______．

正确答案

2n-3

解析

解：由题意可得：a2+a6=2×5，a3+a7=2×7，

由等差数列的性质可得2a4=a2+a6=10，2a5=a3+a7=14

解之可得a4=5，a5=7，故公差d=a5-a4=2

故a1=a4-3d=5-6=-1，

故an=-1+2（n-1）=2n-3

故答案为：2n-3

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题型：填空题

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填空题

已知数列中，a1=5，a8=19，an=pn+q（p，q为常数）（n∈N*），则a5=______．

正确答案

13

解析

解：∵a1=5，a8=19，an=pn+q

∴p+q=5，8p+q=19

∴p=2，q=3

∴an=2n+3

∴a5=2×5+3=13

故答案为13

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题型：填空题

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填空题

设Sn为数列{an}的前n项和，若（n∈N+）是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列{Cn}是首项为2，公差为d（d≠0）的等差数列，且数列{Cn}是“和等比数列”，则d=______．

正确答案

4

解析

解：由题意设数列{Cn}的前n项和为Tn，

则Tn=2n+，T2n=4n+，

因为数列{Cn}是“和等比数列”，

所以===k，对于n∈N*都成立，

化简得，（k-4）dn+（k-2）（4-d）=0，

因为d≠0，故只需4-d=0，解得d=4

故答案为：4

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题型：填空题

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填空题

已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=-，若直线x+y-3an=0和直线2x-y+2an-1=0的交点M在第四象限，则an=______．

正确答案

解析

解：联立，解得，

∵M在第四象限，则，解得．

由等差数列{an}的首项a1=1，公差d=-，得，

∴，解得，

又n∈N*，∴n=3，4．

∴．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知数列{an}是等差数列，且a1=50，d=-3．

（1）若an＜0，求n的最小值；

（2）若Sn＞0，求n的最大值；

（3）求Sn的最大值．

正确答案

解：（1）由题意得，等差数列中，a1=50，d=-3

所以，an=a1+（n-1）d=53-3n，

令an＜0得，n＞，又n∈N+，则n≥18，

所以an＜0时n的最小值是18；

（2）=，

由得，0，

又n∈N+，则n≤34，

所以Sn＞0时n的最大值是34；

（3）由（2）得，，则对称轴是n=，

又n∈N+，则当n=17时Sn取最大值，

所以S17==442．

解析

解：（1）由题意得，等差数列中，a1=50，d=-3

所以，an=a1+（n-1）d=53-3n，

令an＜0得，n＞，又n∈N+，则n≥18，

所以an＜0时n的最小值是18；

（2）=，

由得，0，

又n∈N+，则n≤34，

所以Sn＞0时n的最大值是34；

（3）由（2）得，，则对称轴是n=，

又n∈N+，则当n=17时Sn取最大值，

所以S17==442．

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题型：简答题

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简答题

在等差数列{an}中

（1）a1+a3 +a5=-1，求a1 +a2+a3+a4+a5；

（2）已知a2+a3 +a4+a5 =34，a2•a5 =52，且a4＞a2，求a5．

正确答案

解：（1）由等差数列的性质可得a1+a3+a5=3a3=-1，

∴a3=-，∴a1+a2+a3+a4+a5=5a3=-；

（2）由等差数列的性质可得a2+a3+a4+a5=2（a2+a5 ）=34，

∴a2+a5=17，又a2•a5 =52，

∴a2和a5为方程x2-17x+52=0的两根，

结合a4＞a2可得a2=4，a5=13

解析

解：（1）由等差数列的性质可得a1+a3+a5=3a3=-1，

∴a3=-，∴a1+a2+a3+a4+a5=5a3=-；

（2）由等差数列的性质可得a2+a3+a4+a5=2（a2+a5 ）=34，

∴a2+a5=17，又a2•a5 =52，

∴a2和a5为方程x2-17x+52=0的两根，

结合a4＞a2可得a2=4，a5=13

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正确答案

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