- 等差数列
- 共11217题
若{an}是公差d≠0的等差数列，通项为an，{bn}是公比q≠1的等比数列，已知a1=b1=1，且a2=b2，a6=b3．
（1）求d和q．
（2）是否存在常数a，b，使对一切n∈N*都有an=logabn+b成立，若存在求之，若不存在说明理由．
正确答案
解：（1）由题意可得a2=1+d=b2=q，a6=1+5d=b3=q2，
上述两式联立求解可得q=4，d=3．
（2）假设存在常数a、b满足等式，
由an=1+（n-1）d=3n-2，bn=qn-1=4n-1及an=logabn+b
得（3-loga4）n+loga4-b-2=0，
∵n∈N*，
∴
∴a=
解析
解：（1）由题意可得a2=1+d=b2=q，a6=1+5d=b3=q2，
上述两式联立求解可得q=4，d=3．
（2）假设存在常数a、b满足等式，
由an=1+（n-1）d=3n-2，bn=qn-1=4n-1及an=logabn+b
得（3-loga4）n+loga4-b-2=0，
∵n∈N*，
∴
∴a=
已知等差数列{an}中，a2=-20，a1+a9=-28．数列{bn}满足an=log2bn，则an=______，若设Tn=b1b2…bn，且Tn=1，则n的值是______．
正确答案
2n-24
23
解析
解：设数列{an}的公差为d，则
∴an=-22+2（n-1）=2n-24；
∵an=log2bn，∴
∴Tn=b1•b2•…•bn=22（1+2+…+n）-24n=2n（n+1）-24n，
令n（n+1）-24n=0，解得n=23．
∴当n=23时，Tn=1．
故答案为：2n-24；23．
（2016•眉山模拟）在等差数列{an}中，a2=10，a4=18，则此等差数列的公差d=______．
正确答案
4
解析
解：∵在等差数列{an}中a2=10，a4=18，
∴公差d=
故答案为：4
求在[1000，2000]内，能被3整除且被4整除余1的整数有多少个？
正确答案
解：
∴能被3整除的有：1002，1005，1008，…，共有1000到2000之间能够被3整除的有333个，
进而观察其中处于1002到1100之间的被4整除余1的整数，
∵1000、100可以整除4，所以只需要观察十位、个位即可，
2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41，101，…
可以发现从5开始算作第一项，以后每隔4项有一个可以被4整除余数为1的，
那么可以发现
解析
解：
∴能被3整除的有：1002，1005，1008，…，共有1000到2000之间能够被3整除的有333个，
进而观察其中处于1002到1100之间的被4整除余1的整数，
∵1000、100可以整除4，所以只需要观察十位、个位即可，
2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41，101，…
可以发现从5开始算作第一项，以后每隔4项有一个可以被4整除余数为1的，
那么可以发现
在等差数列{an}中，a3=4，d=-2，则an=______．
正确答案
10-2n
解析
解：由等差数列的定义，得a3=a1+2d=4，
结合公差d=-2，可得a1=a3-2d=8
因此，数列{an}的通项公式为an=8+（n-1）×（-2）=10-2n
故答案为：10-2n
数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1，则它的通项公式是______．
正确答案
解析
解：∵Sn=3n2-2n+1
∴当n=1时，a1=2
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3（n-1）2-2（n-1）+1]=6n-5
n=1时不能合到n≥2
故答案为
已知三个数a1，a2，a3成等差数列，其和为72，且a3=3，求这三个数．
正确答案
解：∵三个数a1，a2，a3成等差数列，其和为72，
∴a1+a2+a3=3a2=72，
解得a2=24；
又∵a3=3，
∴a1=72-24-3=45；
∴这三个数分别为45、24、3．
解析
解：∵三个数a1，a2，a3成等差数列，其和为72，
∴a1+a2+a3=3a2=72，
解得a2=24；
又∵a3=3，
∴a1=72-24-3=45；
∴这三个数分别为45、24、3．
记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a5=10，S9=54，则直线a1x+a4y+a2=0的斜率为______．
正确答案
-
解析
解：根据等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a5=10，S9=54，设公差为d，
可得2a1+6d=10，9a1+
直线a1x+a4y+a2=0的斜率为-
故答案为：-
等差数列{an}前n项的和为Sn，已知对任意的n∈N*，点（n，Sn）在二次函数f（x）=x2+c图象上，则c=______，an=______．
正确答案
0
2n-1
解析
解：∵点（n，Sn）在二次函数f（x）=x2+c图象上
∴Sn=n2+c
∴当n=1时，a1=1+c
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1
∵等差数列{an}
∴1+c=1
∴c=0
故答案为0；2n-1
互不相等的三个数之积是-8，这三个数适当排列后可成为等比数列，又可成为等差数列，求这三个数排成的等差数列．
正确答案
解：由题意设这三个数为：
（1）若-2为等差中项，则
（2）若-2q为等差中项，则
由（1）知q=1应舍去，当q=
（3）若
故当q=-2时，这三个数为4，1，-2，
综上所述，这三个数排成的等差数列是4，1，-2或者-2，1，4
解析
解：由题意设这三个数为：
（1）若-2为等差中项，则
（2）若-2q为等差中项，则
由（1）知q=1应舍去，当q=
（3）若
故当q=-2时，这三个数为4，1，-2，
综上所述，这三个数排成的等差数列是4，1，-2或者-2，1，4
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