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题型:简答题
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简答题

三个正数成等差数列,它们的和为15,如果它们分别加上1,3,9,就成为等比数列,求这个三个数.

正确答案

解:设这三个数为:a-d,a,a+d,

解之得(舍去)

故所求的三个数为3,5,7.

解析

解:设这三个数为:a-d,a,a+d,

解之得(舍去)

故所求的三个数为3,5,7.

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题型:填空题
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填空题

已知在等差数列{an}中,若a7-a3=20,则a70-a80的值为______

正确答案

-50

解析

解:在等差数列{an}中,由a7-a3=20,得4d=20,d=5.

∴a70-a80=-10d=-50.

故答案为:-50.

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题型:简答题
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简答题

设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(2)令bn=C(注释:bn等于C的an次方),(其中C为常数,且C≠0,n∈N*),求证:数列{bn}为等比数列.

正确答案

(1)解:由S7=7,S15=75.

得7a4=7,15a8=75,所以a4=1,a8=5.

所以公差d==1

那么首项a1=a4-3d=1-3=-2

所以an=-2+(n-1)=n-3;

(2)证明:由bn=C

因为an+1-an=(n+1)-3-n+3=1

所以=C.

所以数列{bn}为等比数列.

解析

(1)解:由S7=7,S15=75.

得7a4=7,15a8=75,所以a4=1,a8=5.

所以公差d==1

那么首项a1=a4-3d=1-3=-2

所以an=-2+(n-1)=n-3;

(2)证明:由bn=C

因为an+1-an=(n+1)-3-n+3=1

所以=C.

所以数列{bn}为等比数列.

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题型:简答题
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简答题

已知数列{an}(n∈N*)的前n项的Sn=n2

(Ⅰ)求数列{an},的通项公式;

(Ⅱ)若,记数列{bn},的前n项和为Tn,求使成立的最小正整数n的值.

正确答案

解:(Ⅰ)∵Sn=n2

当n≥2时,Sn-1=(n-1)2

∴相减得:an=Sn-Sn-1=2n-1

又a1=S1=1符合上式

∴数列{an},的通项公式an=2n-1

(II)由(I)知

∴Tn=b1+b2+b3++bn

=

=

又∵

成立的最小正整数n的值为5

解析

解:(Ⅰ)∵Sn=n2

当n≥2时,Sn-1=(n-1)2

∴相减得:an=Sn-Sn-1=2n-1

又a1=S1=1符合上式

∴数列{an},的通项公式an=2n-1

(II)由(I)知

∴Tn=b1+b2+b3++bn

=

=

又∵

成立的最小正整数n的值为5

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题型:简答题
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简答题

已知正项数列{an}的前n项和Sn满足2=an+1,求证:{an}是等差数列,并求an

正确答案

证明:正项数列{an}的前n项和Sn满足2=an+1,

∴4Sn=+2an+1,

∴4Sn-1=+2an-1+1,n≥2;

∴4(Sn-Sn-1)=+2an--2an-1,n≥2,

即4an=+2an--2an-1,n≥2;

整理得(an+an-1)(an-an-1-2)=0,

又an>0,∴an-an-1=2;

又a1=S1

∴4a1=+2a1+1,

解得a1=1;

∴数列{an}是首项为a1=1,公差d=2的等差数列,

它的通项公式为an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.

解析

证明:正项数列{an}的前n项和Sn满足2=an+1,

∴4Sn=+2an+1,

∴4Sn-1=+2an-1+1,n≥2;

∴4(Sn-Sn-1)=+2an--2an-1,n≥2,

即4an=+2an--2an-1,n≥2;

整理得(an+an-1)(an-an-1-2)=0,

又an>0,∴an-an-1=2;

又a1=S1

∴4a1=+2a1+1,

解得a1=1;

∴数列{an}是首项为a1=1,公差d=2的等差数列,

它的通项公式为an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.

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题型:填空题
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填空题

数列{an)满足:a2=2,an+1-an-1=0,则an=______

正确答案

n

解析

解:在数列{an}中,由an+1-an-1=0,得:an+1-an=1,

∴数列{an}是公差为1的等差数列.又a2=2,

则an=a2+(n-2)d=2+(n-2)×1=n.

故答案为n.

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题型:简答题
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简答题

设Sn是正项数列B的前n项和,

(Ⅰ)求证数列{an}是等差数列,并求{an}的通项公式;

(Ⅱ)已知,求{bn}的前n项和Tn

正确答案

解:(Ⅰ)由

当n=1时,,又a1>0,解得a1=1.

当n≥2时,

∴(an+an-1)(an-an-1-1)=0,

∵an+an-1>0,

∴an-an-1=1

则数列{an}是以1为首项,1为公差的等差数列

∴an=a1+(n-1)d=1+(n-1)=n.

(Ⅱ)∵

又因为

①-②得:

=

=

=

所以

解析

解:(Ⅰ)由

当n=1时,,又a1>0,解得a1=1.

当n≥2时,

∴(an+an-1)(an-an-1-1)=0,

∵an+an-1>0,

∴an-an-1=1

则数列{an}是以1为首项,1为公差的等差数列

∴an=a1+(n-1)d=1+(n-1)=n.

(Ⅱ)∵

又因为

①-②得:

=

=

=

所以

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题型:填空题
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填空题

若在等差数列{an}中,a3=7,a7=3,则通项公式an=______

正确答案

-n+10

解析

解:设数列的公差为d

∵a3=7,a7=3,

∴a1+2d=7,a1+6d=3,

∴a1=9,d=-1,

∴an=-n+10.

故答案为:-n+10.

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题型:填空题
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填空题

数列{an} 的前n 项和为,则其通项an=______

正确答案

2n-1

解析

解:当n=1时,S1=12=1,

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,

又n=1时,a1=2-1=1,满足通项公式,

∴此数列通项公式为an=2n-1,

故答案为:2n-1.

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题型:填空题
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填空题

在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C构成公差小于0的等差数列,则sin2的取值范围是______

正确答案

解析

解:∵A,B,C构成公差小于0的等差数列,

∴2B=A+C=π-B,解得B=

∴A=-α,B=,C=+α.

∴2α∈

cos2α∈

∴sin2==-cos2α∈

故答案为:

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