- 等差数列
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三个正数成等差数列,它们的和为15,如果它们分别加上1,3,9,就成为等比数列,求这个三个数.
正确答案
解:设这三个数为:a-d,a,a+d,
则,
解之得或
(舍去)
故所求的三个数为3,5,7.
解析
解:设这三个数为:a-d,a,a+d,
则,
解之得或
(舍去)
故所求的三个数为3,5,7.
已知在等差数列{an}中,若a7-a3=20,则a70-a80的值为______.
正确答案
-50
解析
解:在等差数列{an}中,由a7-a3=20,得4d=20,d=5.
∴a70-a80=-10d=-50.
故答案为:-50.
设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=C(注释:bn等于C的an次方),(其中C为常数,且C≠0,n∈N*),求证:数列{bn}为等比数列.
正确答案
(1)解:由S7=7,S15=75.
得7a4=7,15a8=75,所以a4=1,a8=5.
所以公差d==1
那么首项a1=a4-3d=1-3=-2
所以an=-2+(n-1)=n-3;
(2)证明:由bn=C,
因为an+1-an=(n+1)-3-n+3=1
所以=C.
所以数列{bn}为等比数列.
解析
(1)解:由S7=7,S15=75.
得7a4=7,15a8=75,所以a4=1,a8=5.
所以公差d==1
那么首项a1=a4-3d=1-3=-2
所以an=-2+(n-1)=n-3;
(2)证明:由bn=C,
因为an+1-an=(n+1)-3-n+3=1
所以=C.
所以数列{bn}为等比数列.
已知数列{an}(n∈N*)的前n项的Sn=n2.
(Ⅰ)求数列{an},的通项公式;
(Ⅱ)若,记数列{bn},的前n项和为Tn,求使
成立的最小正整数n的值.
正确答案
解:(Ⅰ)∵Sn=n2
当n≥2时,Sn-1=(n-1)2
∴相减得:an=Sn-Sn-1=2n-1
又a1=S1=1符合上式
∴数列{an},的通项公式an=2n-1
(II)由(I)知
∴Tn=b1+b2+b3++bn
=
=
又∵
∴
∴成立的最小正整数n的值为5
解析
解:(Ⅰ)∵Sn=n2
当n≥2时,Sn-1=(n-1)2
∴相减得:an=Sn-Sn-1=2n-1
又a1=S1=1符合上式
∴数列{an},的通项公式an=2n-1
(II)由(I)知
∴Tn=b1+b2+b3++bn
=
=
又∵
∴
∴成立的最小正整数n的值为5
已知正项数列{an}的前n项和Sn满足2=an+1,求证:{an}是等差数列,并求an.
正确答案
证明:正项数列{an}的前n项和Sn满足2=an+1,
∴4Sn=+2an+1,
∴4Sn-1=+2an-1+1,n≥2;
∴4(Sn-Sn-1)=+2an-
-2an-1,n≥2,
即4an=+2an-
-2an-1,n≥2;
整理得(an+an-1)(an-an-1-2)=0,
又an>0,∴an-an-1=2;
又a1=S1,
∴4a1=+2a1+1,
解得a1=1;
∴数列{an}是首项为a1=1,公差d=2的等差数列,
它的通项公式为an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.
解析
证明:正项数列{an}的前n项和Sn满足2=an+1,
∴4Sn=+2an+1,
∴4Sn-1=+2an-1+1,n≥2;
∴4(Sn-Sn-1)=+2an-
-2an-1,n≥2,
即4an=+2an-
-2an-1,n≥2;
整理得(an+an-1)(an-an-1-2)=0,
又an>0,∴an-an-1=2;
又a1=S1,
∴4a1=+2a1+1,
解得a1=1;
∴数列{an}是首项为a1=1,公差d=2的等差数列,
它的通项公式为an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.
数列{an)满足:a2=2,an+1-an-1=0,则an=______.
正确答案
n
解析
解:在数列{an}中,由an+1-an-1=0,得:an+1-an=1,
∴数列{an}是公差为1的等差数列.又a2=2,
则an=a2+(n-2)d=2+(n-2)×1=n.
故答案为n.
设Sn是正项数列B的前n项和,.
(Ⅰ)求证数列{an}是等差数列,并求{an}的通项公式;
(Ⅱ)已知,求{bn}的前n项和Tn.
正确答案
解:(Ⅰ)由.
当n=1时,,又a1>0,解得a1=1.
当n≥2时,,
∴,
∴,
∴(an+an-1)(an-an-1-1)=0,
∵an+an-1>0,
∴an-an-1=1
则数列{an}是以1为首项,1为公差的等差数列
∴an=a1+(n-1)d=1+(n-1)=n.
(Ⅱ)∵,
∴①
又因为②
①-②得:
=
=
=
所以.
解析
解:(Ⅰ)由.
当n=1时,,又a1>0,解得a1=1.
当n≥2时,,
∴,
∴,
∴(an+an-1)(an-an-1-1)=0,
∵an+an-1>0,
∴an-an-1=1
则数列{an}是以1为首项,1为公差的等差数列
∴an=a1+(n-1)d=1+(n-1)=n.
(Ⅱ)∵,
∴①
又因为②
①-②得:
=
=
=
所以.
若在等差数列{an}中,a3=7,a7=3,则通项公式an=______.
正确答案
-n+10
解析
解:设数列的公差为d
∵a3=7,a7=3,
∴a1+2d=7,a1+6d=3,
∴a1=9,d=-1,
∴an=-n+10.
故答案为:-n+10.
数列{an} 的前n 项和为,则其通项an=______.
正确答案
2n-1
解析
解:当n=1时,S1=12=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,
又n=1时,a1=2-1=1,满足通项公式,
∴此数列通项公式为an=2n-1,
故答案为:2n-1.
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C构成公差小于0的等差数列,则sin2的取值范围是______.
正确答案
解析
解:∵A,B,C构成公差小于0的等差数列,
∴2B=A+C=π-B,解得B=.
∴A=-α,B=
,C=
+α.
.
∴2α∈.
cos2α∈.
∴sin2=
=
-
cos2α∈
.
故答案为:.
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