等差数列_章节学习

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题型：简答题

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简答题

三个正数成等差数列，它们的和为15，如果它们分别加上1，3，9，就成为等比数列，求这个三个数．

正确答案

解：设这三个数为：a-d，a，a+d，

则，

解之得或（舍去）

故所求的三个数为3，5，7．

解析

解：设这三个数为：a-d，a，a+d，

则，

解之得或（舍去）

故所求的三个数为3，5，7．

1

题型：填空题

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填空题

已知在等差数列{an}中，若a7-a3=20，则a70-a80的值为______．

正确答案

-50

解析

解：在等差数列{an}中，由a7-a3=20，得4d=20，d=5．

∴a70-a80=-10d=-50．

故答案为：-50．

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题型：简答题

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简答题

设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（2）令bn=C（注释：bn等于C的an次方），（其中C为常数，且C≠0，n∈N*），求证：数列{bn}为等比数列．

正确答案

（1）解：由S7=7，S15=75．

得7a4=7，15a8=75，所以a4=1，a8=5．

所以公差d==1

那么首项a1=a4-3d=1-3=-2

所以an=-2+（n-1）=n-3；

（2）证明：由bn=C，

因为an+1-an=（n+1）-3-n+3=1

所以=C．

所以数列{bn}为等比数列．

解析

（1）解：由S7=7，S15=75．

得7a4=7，15a8=75，所以a4=1，a8=5．

所以公差d==1

那么首项a1=a4-3d=1-3=-2

所以an=-2+（n-1）=n-3；

（2）证明：由bn=C，

因为an+1-an=（n+1）-3-n+3=1

所以=C．

所以数列{bn}为等比数列．

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题型：简答题

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简答题

已知数列{an}（n∈N*）的前n项的Sn=n2．

（Ⅰ）求数列{an}，的通项公式；

（Ⅱ）若，记数列{bn}，的前n项和为Tn，求使成立的最小正整数n的值．

正确答案

解：（Ⅰ）∵Sn=n2

当n≥2时，Sn-1=（n-1）2

∴相减得：an=Sn-Sn-1=2n-1

又a1=S1=1符合上式

∴数列{an}，的通项公式an=2n-1

（II）由（I）知

∴Tn=b1+b2+b3++bn

=

又∵

∴

∴成立的最小正整数n的值为5

解析

解：（Ⅰ）∵Sn=n2

当n≥2时，Sn-1=（n-1）2

∴相减得：an=Sn-Sn-1=2n-1

又a1=S1=1符合上式

∴数列{an}，的通项公式an=2n-1

（II）由（I）知

∴Tn=b1+b2+b3++bn

=

又∵

∴

∴成立的最小正整数n的值为5

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题型：简答题

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简答题

已知正项数列{an}的前n项和Sn满足2=an+1，求证：{an}是等差数列，并求an．

正确答案

证明：正项数列{an}的前n项和Sn满足2=an+1，

∴4Sn=+2an+1，

∴4Sn-1=+2an-1+1，n≥2；

∴4（Sn-Sn-1）=+2an--2an-1，n≥2，

即4an=+2an--2an-1，n≥2；

整理得（an+an-1）（an-an-1-2）=0，

又an＞0，∴an-an-1=2；

又a1=S1，

∴4a1=+2a1+1，

解得a1=1；

∴数列{an}是首项为a1=1，公差d=2的等差数列，

它的通项公式为an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．

解析

证明：正项数列{an}的前n项和Sn满足2=an+1，

∴4Sn=+2an+1，

∴4Sn-1=+2an-1+1，n≥2；

∴4（Sn-Sn-1）=+2an--2an-1，n≥2，

即4an=+2an--2an-1，n≥2；

整理得（an+an-1）（an-an-1-2）=0，

又an＞0，∴an-an-1=2；

又a1=S1，

∴4a1=+2a1+1，

解得a1=1；

∴数列{an}是首项为a1=1，公差d=2的等差数列，

它的通项公式为an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．

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题型：填空题

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填空题

数列{an）满足：a2=2，an+1-an-1=0，则an=______．

正确答案

n

解析

解：在数列{an}中，由an+1-an-1=0，得：an+1-an=1，

∴数列{an}是公差为1的等差数列．又a2=2，

则an=a2+（n-2）d=2+（n-2）×1=n．

故答案为n．

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题型：简答题

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简答题

设Sn是正项数列B的前n项和，．

（Ⅰ）求证数列{an}是等差数列，并求{an}的通项公式；

（Ⅱ）已知，求{bn}的前n项和Tn．

正确答案

解：（Ⅰ）由．

当n=1时，，又a1＞0，解得a1=1．

当n≥2时，，

∴，

∴（an+an-1）（an-an-1-1）=0，

∵an+an-1＞0，

∴an-an-1=1

则数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列

∴an=a1+（n-1）d=1+（n-1）=n．

（Ⅱ）∵，

∴①

又因为②

①-②得：

=

所以．

解析

解：（Ⅰ）由．

当n=1时，，又a1＞0，解得a1=1．

当n≥2时，，

∴，

∴（an+an-1）（an-an-1-1）=0，

∵an+an-1＞0，

∴an-an-1=1

则数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列

∴an=a1+（n-1）d=1+（n-1）=n．

（Ⅱ）∵，

∴①

又因为②

①-②得：

=

所以．

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题型：填空题

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填空题

若在等差数列{an}中，a3=7，a7=3，则通项公式an=______．

正确答案

-n+10

解析

解：设数列的公差为d

∵a3=7，a7=3，

∴a1+2d=7，a1+6d=3，

∴a1=9，d=-1，

∴an=-n+10．

故答案为：-n+10．

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题型：填空题

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填空题

数列{an} 的前n 项和为，则其通项an=______．

正确答案

2n-1

解析

解：当n=1时，S1=12=1，

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-（n-1）2=2n-1，

又n=1时，a1=2-1=1，满足通项公式，

∴此数列通项公式为an=2n-1，

故答案为：2n-1．

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题型：填空题

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填空题

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C构成公差小于0的等差数列，则sin2的取值范围是______．

正确答案

解析

解：∵A，B，C构成公差小于0的等差数列，

∴2B=A+C=π-B，解得B=．

∴A=-α，B=，C=+α.．

∴2α∈．

cos2α∈．

∴sin2==-cos2α∈．

故答案为：．

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