等差数列_章节学习

1

题型：填空题

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填空题

已知等差数列{an}的通项公式为an=3-2n，a4=______．

正确答案

-5

解析

解：∵an=3-2n，

∴a4=3-2×4=-5

故答案为：-5

1

题型：填空题

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填空题

已知f（n+1）=f（n）-（n∈N*）且f（2）=2，则f（101）=______．

正确答案

-

解析

解：∵f（n+1）=f（n）-（n∈N*）

∴f（n+1）-f（n）=-

f（2）=2，

∴f（n）表示以2为首项，以-为公差的等差数列，

f（101）=2+（101-2）×（-）=-

故答案为：-

1

题型：填空题

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填空题

在等差数列{an}中，a1=2，a6=17，则公差d=______．

正确答案

3

解析

解：由题意可得公差d===3，

故答案为：3

1

题型：填空题

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填空题

在等差数列{an}中，已知a1=1，d=2，则第3项a3=______．

正确答案

5

解析

解：在等差数列{an}中，由a1=1，d=2，

得an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1，

∴第3项a3=2×3-1=5．

故答案为：5．

1

题型：填空题

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填空题

现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10cm，最下面的三节长度之和为114cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n=______．

正确答案

16

解析

解：设此根n节的竹竿的自上而下每节的长度依次构成等差数列为{an}，公差为d．

由题意可知：a1=10，an-2+an-1+an=114，．

联立可得，解得

因此n=16．

故答案为16．

1

题型：简答题

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简答题

设Sn为等差数列{an}的前n项和，a2=8，S5=50

（I）求数列{an}的通项公式；

（II）设，求T10．

正确答案

解：（I）由a2=8，S5=50，根据题意得：

解得d=2，a1=6，

所以an=6+2（n-1）=2n+4；

（II）把an=2n+4代入得：=，

所以=．

解析

解：（I）由a2=8，S5=50，根据题意得：

解得d=2，a1=6，

所以an=6+2（n-1）=2n+4；

（II）把an=2n+4代入得：=，

所以=．

1

题型：简答题

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简答题

（理）已知等差数列{an}中，a3=7，a1+a2+a3=12，令bn=anan+1，数列的前n项和为Tn．n∈N*．

（1）求{an}的通项公式；

（2）求证：；

（3）通过对数列{Tn}的探究，写出“T1，Tm，Tn成等比数列”的一个真命题并说明理由（1＜m＜n，m，n∈N*）．

说明：对于第（3）题，将根据对问题探究的完整性，给予不同的评分．

正确答案

（1）设数列{an}的公差为d，由a3=a1+2d=7，a1+a2+a3=3a1+3d=12．解得a1=1，d=3∴an=3n-2．n∈N*…（4分）

（2）bn=anan+1=（3n-2）（3n+1）

∴∴；（8分）

（3）由（2）知，∴，

若T1，Tm，Tn成等比数列，则即．…（10分）

以下（6分）按3个层次评分

第一层次满分（3分）：

例如：因为，所以只有满足的大于1的正整数m，才有可能使得成立 …（13分）

或者取具体数值探究如：

当m=2时，=，n=16，符合题意；

当m=3时，=，n无正整数解；

当m=4时，=，n无正整数解；

当m=5时，=，n无正整数解；

当m=6时，=，n无正整数解； …（13分）

或者描述性说明，如：

因为，，所以只有当m取值较小时，才有可能使得成立 …（13分）

第二层次3+（2分）：

在第一层次的基础上继续探究，并明确指出：当正整数m=2，n=16时，T1，Tm，Tn成等比数列．如：

不等式即3m2-6m-1＜0，解得，所以m=1（舍去），m=2．当m=2时，=，n=16，符合题意；所以当正整数m=2，n=16时，T1，Tm，Tn成等比数列．…（15分）

（注：）

或者如：当m≥7时，m2-6m-1=（m-3）2-10＞0，则，而，所以，此时不存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列．所以当正整数m=2，n=16时，T1，Tm，Tn成等比数列．…（15分）

第三层次5+（1分）：

在前面探索的基础上，写出“T1，Tm，Tn成等比数列”的真命题：当且仅当正整数m=2，n=16时，T1，Tm，Tn成等比数列．…（16分）

（说明：对问题探究的完整性体现在过程中即可）

解析

（1）设数列{an}的公差为d，由a3=a1+2d=7，a1+a2+a3=3a1+3d=12．解得a1=1，d=3∴an=3n-2．n∈N*…（4分）

（2）bn=anan+1=（3n-2）（3n+1）

∴∴；（8分）

（3）由（2）知，∴，

若T1，Tm，Tn成等比数列，则即．…（10分）

以下（6分）按3个层次评分

第一层次满分（3分）：

例如：因为，所以只有满足的大于1的正整数m，才有可能使得成立 …（13分）

或者取具体数值探究如：

当m=2时，=，n=16，符合题意；

当m=3时，=，n无正整数解；

当m=4时，=，n无正整数解；

当m=5时，=，n无正整数解；

当m=6时，=，n无正整数解； …（13分）

或者描述性说明，如：

因为，，所以只有当m取值较小时，才有可能使得成立 …（13分）

第二层次3+（2分）：

在第一层次的基础上继续探究，并明确指出：当正整数m=2，n=16时，T1，Tm，Tn成等比数列．如：

不等式即3m2-6m-1＜0，解得，所以m=1（舍去），m=2．当m=2时，=，n=16，符合题意；所以当正整数m=2，n=16时，T1，Tm，Tn成等比数列．…（15分）

（注：）

或者如：当m≥7时，m2-6m-1=（m-3）2-10＞0，则，而，所以，此时不存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列．所以当正整数m=2，n=16时，T1，Tm，Tn成等比数列．…（15分）

第三层次5+（1分）：

在前面探索的基础上，写出“T1，Tm，Tn成等比数列”的真命题：当且仅当正整数m=2，n=16时，T1，Tm，Tn成等比数列．…（16分）

（说明：对问题探究的完整性体现在过程中即可）

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题型：填空题

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填空题

设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+Sn=An2+Bn+C，若A=5，C=1，则B=______．

正确答案

16

解析

解：∵数列{an}为等差数列，设公差为d，

由an+Sn=An2+Bn+C，

得a1+（n-1）d+na1+n（n-1）d=An2+Bn+C，

∴，

∴3A-B+C=0．

若A=5，C=1，则B=16．

故答案为：16．

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题型：填空题

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填空题

在等差数列{an}中，若a3，a9是方程3x2-11x+9=0的两根，则a6=______．

正确答案

解析

解：由a3，a9是方程3x2-11x+9=0的两根，得

a3+a9=，

∵数列{an}是等差数列，∴．

故答案为：．

1

题型：简答题

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简答题

等差数列{an}中，d=2，a1=5，Sn=60，求n及an．

正确答案

解：等差数列{an}中，d=2，a1=5，Sn=60，

∵前n项和Sn=na1+n（n+1）d，

即5n+×n（n-1）×2=60；

解得n=6，n=-10（舍去）；

∴通项公式是an=a1+（n-1）d=5+2（n-1）=2n+3，

∴a6=2×6+3=15．

∴所求的n=6，a6=15．

解析

解：等差数列{an}中，d=2，a1=5，Sn=60，

∵前n项和Sn=na1+n（n+1）d，

即5n+×n（n-1）×2=60；

解得n=6，n=-10（舍去）；

∴通项公式是an=a1+（n-1）d=5+2（n-1）=2n+3，

∴a6=2×6+3=15．

∴所求的n=6，a6=15．

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