- 等差数列
- 共11217题
若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=15，a1=2，则a4=______．
正确答案
11
解析
解：由题意可得S3=3a2=15，∴a2=5，
∴公差d=a2-a1=5-2=3，
∴a4=a1+3d=2+3×3=11
故答案为：11
在数列{an}中，a4，a10是方程x2-3x-5=0的两根，若数列{an}为等差数列，求a7及a5+a9的值．
正确答案
解：∵等差数列{an}}中，a4，a10是方程x2-3x-5=0的两根，
∴由韦达定理可得a4+a10=3，
∴由等差数列的性质可得2a7=a5+a9=a4+a10=3，
∴a7=
解析
解：∵等差数列{an}}中，a4，a10是方程x2-3x-5=0的两根，
∴由韦达定理可得a4+a10=3，
∴由等差数列的性质可得2a7=a5+a9=a4+a10=3，
∴a7=
已知等差数列{an}中，a1=1，a4=-5．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{an}的前k项和Sk=-80，求k的值．
正确答案
解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
则d=
故an=1-2（n-1）=-2n+3
（2）由（1）可得an=-2n+3，
故Sk=
化简可得k2-2k-80=0，即（k+8）（k-10）=0，
解得k=10或k=-8（舍去）
故k的值为：10
解析
解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
则d=
故an=1-2（n-1）=-2n+3
（2）由（1）可得an=-2n+3，
故Sk=
化简可得k2-2k-80=0，即（k+8）（k-10）=0，
解得k=10或k=-8（舍去）
故k的值为：10
等差数列{an}中，a2+a5=19，S5=40，则公差d=______．a10=______．
正确答案
3
29
解析
解：∵等差数列{an}中，a2+a5=19，S5=40，
∴
∴an=2+3（n-1）=3n-1．
∴a10=29．
故答案分别为：3；29．
等差数列{an}中，ap=q，aq=p．（p，q∈N，且p≠q）则ap+q=______．
正确答案
0
解析
解：设等差数列{an}的公差为d，
则ap=a1+（p-1）d=q，aq=a1+（q-1）d=p，
两式联立可解得a1=q+p-1，d=-1，
∴ap+q=a1+（p+q-1）d=0
故答案为：0
等差数列{an}中，a1=2，2an+1=2an+1，则a101=______．
正确答案
52
解析
解：在等差数列{an}中，由2an+1=2an+1，得
又a1=2，
∴数列{an}是以a1=2为首项，以d=
则a101=a1+（101-1）d=
故答案为52．
设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13
（Ⅰ）求{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列
正确答案
解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则依题意有q＞0且
解得d=2，q=2．
所以an=1+（n-1）d=2n-1，bn=qn-1=2n-1．
（Ⅱ）
①-②得
则
解析
解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则依题意有q＞0且
解得d=2，q=2．
所以an=1+（n-1）d=2n-1，bn=qn-1=2n-1．
（Ⅱ）
①-②得
则
若三个数“lg3，lg6，lgx”依次成等差数列，则x=______．
正确答案
12
解析
解：由题意可得：2lg6=lg3+lgx，
∴lg62=lg（3x）（x＞0），化为3x=36，解得x=12．
故答案为12．
等差数列{an}中，a2=-1且 a4=3，求等差数列{an}的通项公式．
正确答案
解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则a1+d=a2=-1，a1+3d=a4=3，
联立解得：a1=-3，d=2．
∴an=2n-5．
解析
解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则a1+d=a2=-1，a1+3d=a4=3，
联立解得：a1=-3，d=2．
∴an=2n-5．
已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项．
（I）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{cn}对任意正整数n均有
正确答案
解：（1）由题意得（a1+d）（a1+13d）=（a1+4d）2，整理得2a1d=d2．
∵a1=1，解得d=2（d=0不合题意舍去），
∴an=2n-1
由b2=a2=3，b3=a5=9，
易求得bn=3n-1
（2）当n=1时，c1=6；
当n≥2时，
∴cn=（4n+1）mn-1bn=（4n+1）（3m）n-1．
∴cn=
当3m=1，即m=
Sn=6+9+13+…+（4n+1）
=6+
=6+（n-1）（2n+5）=2n2+3n+1．
当3m≠1，即m≠
Sn=c1+c2++cn，即
Sn=6+9•（3m）+13•（3m）2++（4n-3）（3m）n-2+（4n+1）（3m）n-1．①
3mSn=6•3m+9•（3m）2+13•（3m）3++（4n-3）（3m）n-1+（4n+1）（3m）n．②
①-②得
（1-3m）Sn=6+3•3m+4•（3m）2+4•（3m）3++4•（3m）n-1-（4n+1）（3m）n
=6+9m+4[（3m）2+（3m）3++（3m）n-1]-（4n+1）（3m）n
=6+9m+
∴Sn=
∴Sn=
解析
解：（1）由题意得（a1+d）（a1+13d）=（a1+4d）2，整理得2a1d=d2．
∵a1=1，解得d=2（d=0不合题意舍去），
∴an=2n-1
由b2=a2=3，b3=a5=9，
易求得bn=3n-1
（2）当n=1时，c1=6；
当n≥2时，
∴cn=（4n+1）mn-1bn=（4n+1）（3m）n-1．
∴cn=
当3m=1，即m=
Sn=6+9+13+…+（4n+1）
=6+
=6+（n-1）（2n+5）=2n2+3n+1．
当3m≠1，即m≠
Sn=c1+c2++cn，即
Sn=6+9•（3m）+13•（3m）2++（4n-3）（3m）n-2+（4n+1）（3m）n-1．①
3mSn=6•3m+9•（3m）2+13•（3m）3++（4n-3）（3m）n-1+（4n+1）（3m）n．②
①-②得
（1-3m）Sn=6+3•3m+4•（3m）2+4•（3m）3++4•（3m）n-1-（4n+1）（3m）n
=6+9m+4[（3m）2+（3m）3++（3m）n-1]-（4n+1）（3m）n
=6+9m+
∴Sn=
∴Sn=
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