- 等差数列
- 共11217题
已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3•a4=117，a2+a5=22．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）若数列{bn}是等差数列，且
正确答案
解：（1）an为等差数列，a3•a4=117，a2+a5=22
又a2+a5=a3+a4=22
∴a3，a4是方程x2-22x+117=0的两个根，d＞0
∴a3=9，a4=13
∴
∴d=4，a1=1
∴an=1+（n-1）×4=4n-3
（2）由（1）知，
∵
∴
∵{bn}是等差数列，∴2b2=b1+b3，∴2c2+c=0，
∴
解析
解：（1）an为等差数列，a3•a4=117，a2+a5=22
又a2+a5=a3+a4=22
∴a3，a4是方程x2-22x+117=0的两个根，d＞0
∴a3=9，a4=13
∴
∴d=4，a1=1
∴an=1+（n-1）×4=4n-3
（2）由（1）知，
∵
∴
∵{bn}是等差数列，∴2b2=b1+b3，∴2c2+c=0，
∴
在等差数列中：若a1+a2+a3=42，Sn=105，an+an-1+aa-2=84，求n及此数列的a1，d，an．
正确答案
解：∵在等差数列中a1+a2+a3=42，an+an-1+aa-2=84，
两式相加结合等差数列的性质可得3（a1+an）=42+84，
解得a1+an=42，
∴Sn=
又由a1+a2+a3=42可得3a1+3d=42，
由S5=5a1+10d=105联立可解得a1=7，d=7
∴an=a5=a1+4d=35
∴n的值为5，a1=7，d=7，an=35．
解析
解：∵在等差数列中a1+a2+a3=42，an+an-1+aa-2=84，
两式相加结合等差数列的性质可得3（a1+an）=42+84，
解得a1+an=42，
∴Sn=
又由a1+a2+a3=42可得3a1+3d=42，
由S5=5a1+10d=105联立可解得a1=7，d=7
∴an=a5=a1+4d=35
∴n的值为5，a1=7，d=7，an=35．
已知数列{an}，a1=2，an=an-1+3，求{an}通项公式．
正确答案
解：数列{an}中a1=2，an=an-1+3，
∴an-an-1=3，即数列{an}为等差数列，
∴{an}的通项公式为an=2+3（n-1）=3n-1
解析
解：数列{an}中a1=2，an=an-1+3，
∴an-an-1=3，即数列{an}为等差数列，
∴{an}的通项公式为an=2+3（n-1）=3n-1
古代印度数学家婆什迦罗在其所著的《莉拉沃蒂》中有如下题目：“今有人拿钱赠人，第一人给3元，第二人给4元，第三人给5元，其余依次递增，分完后把分掉的钱全部收回，再重新分配，每人恰分得100元，则一共______人．
正确答案
195
解析
解：设共有n人，根据题意得；
3n+
解得n=195；
∴一共有195人．
故答案为：195．
已知{an}是等差数列，且a2+a5+a8+a11=48，则a6+a7=______．
正确答案
24
解析
解：在等差数列{an}中，由a2+a5+a8+a11=48，得
（a2+a11）+（a5+a8）=48，
即2（a6+a7）=48，∴a6+a7=24．
故答案为：24．
（文科）已知n2（n≥4且n∈N*）个正数排成一个n行n列的数阵：
第1列 第2列 第3列 …第n列
第1行 a1，1 a1，2 a1，3 …a1，n
第2行 a2，1 a2，2 a2，3 …a2，n
第3行 a3，1 a3，2 a3，3 …a3，n
…
第n行 an，1 an，2 an，3 …an，n
其中ai，k（i，k∈N*，且1≤i≤n，1≤k≤n）表示该数阵中位于第i行第k列的数，已知该数阵中各行的数依次成等比数列，各列的数依次成公比为2的等比数列，已知a2，3=8，a3，4=20．
（1）求a1，1a2，2；
（2）设An=a1，n+a2，n-1+a3，n-2+…+an，1求证：An+n能被3整除．
正确答案
解：（1）由题意，a2，3=8，
a3，4=20，
所以a1，3=3，a1，4=5，
故第1行公差d=1，
所以a1，1=2，a1，2=3，
得a2，2=2a1，2=6．
（2）同（1）可得，a1，n=n+1，a2，n-1=2n，a3，n-2=22（n-1），…，an-1，2=3×2n-2，an，1=2×2n-1
所以An=a1，n+a2，n-1+a3，n-2+…+an，1=（n+1）+n×21+（n-1）×22+（n-2）×23+…+2×2n-12An=（n+1）×21+n×22+（n-1）×23+…+3×2n-1+2×2n两式相减，得An=-（n+1）+21+22+23+…+2n-1+2×2n=
=-（n+1）+2n-2+2×2n=3×2n-3-n
所以An-n=3×（2n-1），
故An+n能被3整除．
解析
解：（1）由题意，a2，3=8，
a3，4=20，
所以a1，3=3，a1，4=5，
故第1行公差d=1，
所以a1，1=2，a1，2=3，
得a2，2=2a1，2=6．
（2）同（1）可得，a1，n=n+1，a2，n-1=2n，a3，n-2=22（n-1），…，an-1，2=3×2n-2，an，1=2×2n-1
所以An=a1，n+a2，n-1+a3，n-2+…+an，1=（n+1）+n×21+（n-1）×22+（n-2）×23+…+2×2n-12An=（n+1）×21+n×22+（n-1）×23+…+3×2n-1+2×2n两式相减，得An=-（n+1）+21+22+23+…+2n-1+2×2n=
=-（n+1）+2n-2+2×2n=3×2n-3-n
所以An-n=3×（2n-1），
故An+n能被3整除．
已知{an}是等差数列，bn=
正确答案
解：∵{an}是等差数列，bn=
∴
∴数列{bn}是等比数列，
∵b1•b2•b3=
设公比为q，则b1+b2+b3=
解得q=4或q=
当q=4时，b1=
可得d=-2，∴an=3-2（n-1）=5-2n；
当q=
可得d=2，∴an=-1+2（n-1）=2n-3
综上可得an=5-2n或an=2n-3
解析
解：∵{an}是等差数列，bn=
∴
∴数列{bn}是等比数列，
∵b1•b2•b3=
设公比为q，则b1+b2+b3=
解得q=4或q=
当q=4时，b1=
可得d=-2，∴an=3-2（n-1）=5-2n；
当q=
可得d=2，∴an=-1+2（n-1）=2n-3
综上可得an=5-2n或an=2n-3
等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a9+a15+a17=0，则S21的值是______．
正确答案
0
解析
解：设等差数列{an}的公差为d，∵a3+a9+a15+a17=0，∴4a1+40d=0，即a1+10d=a11=0．
∴
故答案为0．
己知数列{an}的前n项和为
（I）求a1，及数列{an}的通项公式；
（ II）数列{an}是等差数列吗？如果是，求它的公差是多少；如果不是说明理由．
正确答案
解：（I）当n=1时，
当n≥2时，由an=Sn-Sn-1=
∴数列{an}的通项公式为
（II）∵当n≥2时，an-an-1=
∴此数列{an}是公差为2的等差数列．
解析
解：（I）当n=1时，
当n≥2时，由an=Sn-Sn-1=
∴数列{an}的通项公式为
（II）∵当n≥2时，an-an-1=
∴此数列{an}是公差为2的等差数列．
已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a3=7，S4=32，求数列{an}的通项公式．
正确答案
解：设首项为a，公差为d
则
∴an=11+（n-1）×（-2）=-2n+13．
解析
解：设首项为a，公差为d
则
∴an=11+（n-1）×（-2）=-2n+13．
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