- 等差数列
- 共11217题
已知递增等差数列{an}公差为d，正项等比数列{bn}公比为q，（q≠1），是否存在实数m，使得
正确答案
解：∵d＞0，q＞0，q≠1，
∴
=（-a1+logmb1）+（n-1）（logmq-d），
要使其与n无关，
只需logmq-d=0，
即
此时∵q＞0，q≠1，
∴m＞0，m≠1，满足要求的m存在，
为
解析
解：∵d＞0，q＞0，q≠1，
∴
=（-a1+logmb1）+（n-1）（logmq-d），
要使其与n无关，
只需logmq-d=0，
即
此时∵q＞0，q≠1，
∴m＞0，m≠1，满足要求的m存在，
为
设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn=nan-n（n-1）（n=1，2，3，…）．
（1）求证：数列{an}为等差数列，并写出an关于n的表达式；
（2）若数列
正确答案
解：（Ⅰ）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=nan-（n-1）an-1-2（n-1），得an-an-1=2（n=2，3，4，）．
所以数列{an}是以a1=1为首项，2为公差的等差数列．
所以an=2n-1．
（Ⅱ）
由
解析
解：（Ⅰ）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=nan-（n-1）an-1-2（n-1），得an-an-1=2（n=2，3，4，）．
所以数列{an}是以a1=1为首项，2为公差的等差数列．
所以an=2n-1．
（Ⅱ）
由
在等差数列{an}中，满足3a5=5a8，Sn是数列{an}前n项的和．
（1）若a1＞0，当Sn取得最大值时，求n的值；
（2）若a1=-46，记bn=n（an+40），求证：数列{bn}是递增数列．
正确答案
（1）解：设{an}的公差为d，则
由3a5=5a8，得3（a1+4d）=5（a1+7d），
∴d=-
∴Sn=na1+
=-
=-
∵a1＞0，
∴当n=12时，Sn取得最大值；
（2）证明：由（1）及a1=-46，得d=-
∴an=-46+（n-1）×4=4n-50，
则bn=n（an+40）=n（4n-50+40）=4n2-10n．
∵
故数列{bn}是递增数列．
解析
（1）解：设{an}的公差为d，则
由3a5=5a8，得3（a1+4d）=5（a1+7d），
∴d=-
∴Sn=na1+
=-
=-
∵a1＞0，
∴当n=12时，Sn取得最大值；
（2）证明：由（1）及a1=-46，得d=-
∴an=-46+（n-1）×4=4n-50，
则bn=n（an+40）=n（4n-50+40）=4n2-10n．
∵
故数列{bn}是递增数列．
已知各项全不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=
正确答案
an=
解析
解：由题意可得
①-②可得：
∵an≠0，∴an+1-an-1=3，
又∵a1=1，a2=3；
∴
故答案为：
设正项等差数列{an}的前2013项和等于2013，则
正确答案
2
解析
解：由题意可得an＞0，
由等差数列的性质可得a2+a2012=2．
∴好
当且仅当a2=a2012=1上=时取等号．
∴
故答案为2．
若三角形的三边长构成等差数列，则称此三角形为“顺序三角形”．已知△ABC是顺序三角形，角A、B、C的对边分别是a、b、c，A=60°，c=2，则a、b的值分别为______．
正确答案
2、2
解析
解：因为A=60°，△ABC是顺序三角形，
所以2a=b+c，即2a=b+2，①
由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccosA，
又c=2，则a2=b2+4-2b，②，
由①②得，a=b=2，
故答案为：2、2．
已知等差数列{an}，a2=21，a5=9
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn的最大值．
正确答案
解：（1）由题意得：
∴an=25+（n-1）×（-4）=-4n+29
（2）Sn=-2n2+27n，
对称轴为
又∵n∈N*∴a1＞o…a7＞0，第八项以后都小于0
∴（Sn）max=S7=91．
解析
解：（1）由题意得：
∴an=25+（n-1）×（-4）=-4n+29
（2）Sn=-2n2+27n，
对称轴为
又∵n∈N*∴a1＞o…a7＞0，第八项以后都小于0
∴（Sn）max=S7=91．
已知等差数列{an}中，a2=6，a5=15，则数列{an}的通项公式为______．
正确答案
3n
解析
解：设等差数列的公差为d，由题意
得
∴an=3+（n-1）×3=3n
故答案为：3n
正确答案
解：∵等差数列{an}中，a3=7，a6=16，设其公差为d，
则有d=
又第行有1个数，第2行有2个数，依此类推第19行有19个数，
故第19行的最后一个数是数列的第1+2+…+19=190项，
则此数阵中第20行从左到右的第10个数是该数列的第200项，
∴a200=1+199×3=598
故答案为：598
解析
解：∵等差数列{an}中，a3=7，a6=16，设其公差为d，
则有d=
又第行有1个数，第2行有2个数，依此类推第19行有19个数，
故第19行的最后一个数是数列的第1+2+…+19=190项，
则此数阵中第20行从左到右的第10个数是该数列的第200项，
∴a200=1+199×3=598
故答案为：598
已知函数f（x）=px2+qx，其中p＞0，p+q＞1，对于数列{an}，设它的前n项和为Sn，且满足Sn=f（n）（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式，并证明an+1＞an＞1（n∈N*）；
（2）求证：点
（3）若过点N1（1，a1），N2（2，a2）作直线l2，设l2与l1的夹角为θ，求tanθ的最大值．
正确答案
解：（1）∵Sn=f（n）=pn2+qn∴当n=1时，a1=s1=p+q
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=pn2+qn-[p（n-1）2+q（n-1）]=2pn-p+q
由于n=1时，a1=p+q适合上式，故数列{an}的通项公式为an=2pn-p+q…（3分）
又∵an+1-an=2p＞0，
∴{an}是首项为p+q，公差为2p的等差数列，∴an+1＞an＞…＞a1=p+q＞1，
∴an+1＞an＞1…（4分）
（2）设Mi，Mj（i≠j）是M1，M2，…，Mn中任意两点，则
=P…（8分）
∴Mi，Mj两点连线的斜率为定值P，又Mi，Mj是M1，M2，…，Mn中任意两点，
∴点M1，M2，…，Mn在同一直线l1上…（9分）
（3）∵N1，N2 两点连线的斜率为
又∵直线l1的斜率为k1=p，由夹角公式得
当且仅当
故当
解析
解：（1）∵Sn=f（n）=pn2+qn∴当n=1时，a1=s1=p+q
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=pn2+qn-[p（n-1）2+q（n-1）]=2pn-p+q
由于n=1时，a1=p+q适合上式，故数列{an}的通项公式为an=2pn-p+q…（3分）
又∵an+1-an=2p＞0，
∴{an}是首项为p+q，公差为2p的等差数列，∴an+1＞an＞…＞a1=p+q＞1，
∴an+1＞an＞1…（4分）
（2）设Mi，Mj（i≠j）是M1，M2，…，Mn中任意两点，则
=P…（8分）
∴Mi，Mj两点连线的斜率为定值P，又Mi，Mj是M1，M2，…，Mn中任意两点，
∴点M1，M2，…，Mn在同一直线l1上…（9分）
（3）∵N1，N2 两点连线的斜率为
又∵直线l1的斜率为k1=p，由夹角公式得
当且仅当
故当
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