- 等差数列
- 共11217题
已知各项都不相等的等差数列{an}的前六项和为60，且a6为a1和a21的等比中项．
（1）求数列{an}的通项公式
（2）若数列{bn}满足bn+1-bn=an（n∈N*），且b1=3，求数列
正确答案
解：（I）设等差数列{an}的公差为d，
则
解得
∴an=2n+3．
（II）由bn+1-bn=an，∴bn-bn-1=an-1（n≥2，n∈N*）．
当n≥2时bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…（b2-b1）+b1
=an-1+an-2++a1+b1=（n-1）（n-1+4）+3
=n（n+2）
对b1=3也适合∴bn=n（n+2）（n∈N*）
∴
=
解析
解：（I）设等差数列{an}的公差为d，
则
解得
∴an=2n+3．
（II）由bn+1-bn=an，∴bn-bn-1=an-1（n≥2，n∈N*）．
当n≥2时bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…（b2-b1）+b1
=an-1+an-2++a1+b1=（n-1）（n-1+4）+3
=n（n+2）
对b1=3也适合∴bn=n（n+2）（n∈N*）
∴
=
（2015秋•洛阳期末）已知等比数列{an}的公比q＞1，a1=2，且a1，a2，a3-8成等差数列，数列{anbn}的前n项和为
（1）分别求出数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设数列cn=
正确答案
解：（1）∵a1=2，且a1，a2，a3-8成等差数列，∴2a2=a1+a3-8，
即
即q=3或-1，而q＞1，∴q=3，则
∵a1b1+a2b2+…+anbn=
∴
两式相减得：
∵
又n=1时，可得b1=1，
∴bn=n；
（2）由（1）得，
∴
当cn+1=cn，即n=5时，c5=c6；
当cn+1＞cn，即n＜5时，c1＜c2＜c3＜c4＜c5；
当cn+1＜cn，即n＞5时，c6＞c7＞c8＞…．
∴cn的最大值是
∴m的最小值为
解析
解：（1）∵a1=2，且a1，a2，a3-8成等差数列，∴2a2=a1+a3-8，
即
即q=3或-1，而q＞1，∴q=3，则
∵a1b1+a2b2+…+anbn=
∴
两式相减得：
∵
又n=1时，可得b1=1，
∴bn=n；
（2）由（1）得，
∴
当cn+1=cn，即n=5时，c5=c6；
当cn+1＞cn，即n＜5时，c1＜c2＜c3＜c4＜c5；
当cn+1＜cn，即n＞5时，c6＞c7＞c8＞…．
∴cn的最大值是
∴m的最小值为
在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且
（I）求an与bn；
（II）设
正确答案
解（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，
且
∴
∴an=a1+（n-1）d=3+（n-1）•3=3n，
（Ⅱ）Tn=anb1+an-1b2+an-2b3+…+a1bn
=3n•1+3（n-1）•3+3（n-2）•32+…+3×2×3n-2+3•3n-1
=n•3+（n-1）•32+（n-2）•33+…+2•3n-1+3n．
∴
∴
=（32+33+…+3n+1）-3n
=
∴
解析
解（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，
且
∴
∴an=a1+（n-1）d=3+（n-1）•3=3n，
（Ⅱ）Tn=anb1+an-1b2+an-2b3+…+a1bn
=3n•1+3（n-1）•3+3（n-2）•32+…+3×2×3n-2+3•3n-1
=n•3+（n-1）•32+（n-2）•33+…+2•3n-1+3n．
∴
∴
=（32+33+…+3n+1）-3n
=
∴
若数列{an}的前n项的和Sn=n2-2n+1，则这个数列的通项公式为；______．
正确答案
解析
解：由数列{an}的前n项的和Sn=n2-2n+1，
当n=1时，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1
=n2-2n+1-[（n-1）2-2（n-1）+1]=2n-3．
此时当n=1时不成立．
∴数列的通项公式为：
故答案为：
已知等差数列{an}满足a3+a4=12，3a2=a5，则a6=______．
正确答案
11
解析
解：设等差数列{an}的公差为d，
∵a3+a4=12，3a2=a5，
∴2a1+5d=12，3（a1+d）=a1+4d，
联立解得a1=1，d=2，
∴a6=a1+5d=11
故答案为：11
等差数列{an}中，a1+3a6+a11=120，则2a7-a8=______．
正确答案
24
解析
解：因为数列{an}是等差数列，所以，a1+a11=2a6，
又a1+3a6+a11=120，所以5a6=120，a6=24．
又a6+a8=2a7，所以，2a7-a8=a6=24．
故答案为24．
在公式an=a1+（n-1）d中，已知a1=3，an=21，d=2，则n=______．
正确答案
10
解析
解：由题意得，an=a1+（n-1）d，
所以an=3+（n-1）×2=21，解得n=10，
故答案为：10．
判断数52，2k+7（k∈N+）是否是等差数列{an}：-5，-3，-1，1，…，中的项，若是，是第几项？
正确答案
解：由题意知，an=2n-7，
由2n-7=52，得n=29.5∉N*，
∴52不是数列中的项；
又由2n-7=2k+7，得n=k+7∈N*．
∴2k+7是等差数列{an}中的第k+7项．
解析
解：由题意知，an=2n-7，
由2n-7=52，得n=29.5∉N*，
∴52不是数列中的项；
又由2n-7=2k+7，得n=k+7∈N*．
∴2k+7是等差数列{an}中的第k+7项．
已知数列{an}，a1=2，当n≥2时，an-an-1=2，求an．
正确答案
解：∵数列{an}中a1=2，当n≥2时，an-an-1=2，
∴a2=2+a1=4，∴数列{an}从第二项起是4为首项2为公差的等差数列，
结合a1=2可得数列{an}是2为首项2为公差的等差数列，
∴an=2+2（n-1）=2n．
解析
解：∵数列{an}中a1=2，当n≥2时，an-an-1=2，
∴a2=2+a1=4，∴数列{an}从第二项起是4为首项2为公差的等差数列，
结合a1=2可得数列{an}是2为首项2为公差的等差数列，
∴an=2+2（n-1）=2n．
等比数列{an}和等差数列{bn}中，a5=b5，2a5-a2a8=0，则b3+b7=______．
正确答案
4
解析
解：因为数列{an}是等比数列，所以
由2a5-a2a8=0，得：
又a5=b5，所以b5=2，
在等差数列{bn}中，根据等差中项概念，有b3+b7=2b5=2×2=4．
故答案为4．
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