- 等差数列
- 共11217题
在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求a20，an．
正确答案
解：在等差数列{an}中，
由a5=10，a12=31，得
∴an=a1+（n-1）d=3n-5．
a20=a1+19d=55．
解析
解：在等差数列{an}中，
由a5=10，a12=31，得
∴an=a1+（n-1）d=3n-5．
a20=a1+19d=55．
已知等差数列{an}满足：a1=2，公差d≠0，
（1）若a1，a2，a4成等比数列，求an；
（2）已知a5＜0，若当且仅当n=5时，|an|取得最小值，求d的取值范围．
正确答案
解：由题意可设an=2+（n-1）d，d≠0，-------------------（1分）
（1）若a1，a2，a4成等比数列，则
即（2+d）2=2•（2+3d），化简得d（d-2）=0，
∵d≠0，∴d=2，----------------------------（4分）
∴an=2n------------------------------------------------------（5分）
（2）∵a5＜0，∴2+4d＜0，得
若当且仅当n=5时，|an|取得最小值，则
即
又
即d的取值范围是
解析
解：由题意可设an=2+（n-1）d，d≠0，-------------------（1分）
（1）若a1，a2，a4成等比数列，则
即（2+d）2=2•（2+3d），化简得d（d-2）=0，
∵d≠0，∴d=2，----------------------------（4分）
∴an=2n------------------------------------------------------（5分）
（2）∵a5＜0，∴2+4d＜0，得
若当且仅当n=5时，|an|取得最小值，则
即
又
即d的取值范围是
各项是正数的等比数列{an}中，a2，
正确答案
解析
解：由题意设等比数列{an}的公比为q（q＞0），
由a2，
即q2-q-1=0，解得q=
故答案为：
各项是正数的等比数列{an}中，a2，
正确答案
解析
解：由题意设等比数列{an}的公比为q（q＞0），
由a2，
即q2-q-1=0，解得q=
故答案为：
在等差数列{an}中，a10=30，a20=50．
（1）求数列{an}的通项an；
（2）令bn=2an-10，证明：数列{bn}为等比数列．
正确答案
解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由an=a1+（n-1）d，a10=30，a20=50，
得
∴an=12+2（n-1）=2n+10；
（2）证明：由（1），得
∴
∴数列{bn}是首项为4，公比为4的等比数列．
解析
解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由an=a1+（n-1）d，a10=30，a20=50，
得
∴an=12+2（n-1）=2n+10；
（2）证明：由（1），得
∴
∴数列{bn}是首项为4，公比为4的等比数列．
若等差数列{an}的公差d=2，a15=-10，则它首项a1=______．
正确答案
-38
解析
解：因为等差数列{an}的公差d=2，a15=-10，
所以a15=a1+（15-1）d，
所以-10=a1+28
解得a1=-38
故答案为-38．
已知等差数列{an}的首项及公差均为正数，令
（1）若等差数列{an}的首项为20，公差为1，则b6=______；
（2）当bk是数列{bn}的最大项时，k=______．
正确答案
50
1006
解析
解：（1）∵等差数列{an}的首项为20，公差为1，
∴an=19+n，则b6=
（2）〖特值法〗不妨令an=n，则bn=
于是
∴n=1006时取得最大值，故k=1006．
〖直接法〗由于an＞0，且bn=
当且仅当an=a2012-n（n∈N*，n＜2012），即n=2012-n，也即n=1006时取“=”．
故k=1006．
故答案为：（1）50；（2）1006
由a1=1，d=3确定的等差数列{an}，当an=292时，序号n等于______．
正确答案
98
解析
解：由题意可得an=a1+d=1+3（n-1）=3n-2，
解方程3n-2=292可得n=98
故答案为：98
已知数列{an}的前n项和Sn满足
（1）求数列{an}的通项公式
（2）令bn=20-an，试求数列{bn}的前多少项的和最大？
正确答案
解：（1）当n=1时，有
当n=2时，有
当n≥2时，有
∴（an+an-1）（an-an-1-2）=0又∵an＞0，∴an-an-1=2，
∴数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴an=1+（n-1）×2=2n-1
（2）由于bn=20-an=21-2n，则b1=19，bn-bn-1=-2＜0．
∴{bn}是递减数列，
令
∴n=10，即数列{bn}的前10项和最大．
解析
解：（1）当n=1时，有
当n=2时，有
当n≥2时，有
∴（an+an-1）（an-an-1-2）=0又∵an＞0，∴an-an-1=2，
∴数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴an=1+（n-1）×2=2n-1
（2）由于bn=20-an=21-2n，则b1=19，bn-bn-1=-2＜0．
∴{bn}是递减数列，
令
∴n=10，即数列{bn}的前10项和最大．
在等差数列{an}中，若a1=2，a2=
正确答案
23
解析
解：设等差数列{an}的公差是d，
因为a1=2，a2=
则a15=a1+14d=2+14×
故答案为：23．
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