等差数列_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知数列{an}的前n项和Sn满足，且an＞0．

（1）求数列{an}的通项公式

（2）令bn=20-an，试求数列{bn}的前多少项的和最大？

正确答案

解：（1）当n=1时，有，∴a1=1

当n=2时，有，∴a1=3

当n≥2时，有

∴（an+an-1）（an-an-1-2）=0又∵an＞0，∴an-an-1=2，

∴数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列，

∴an=1+（n-1）×2=2n-1

（2）由于bn=20-an=21-2n，则b1=19，bn-bn-1=-2＜0．

∴{bn}是递减数列，

令，

∴n=10，即数列{bn}的前10项和最大．

解析

解：（1）当n=1时，有，∴a1=1

当n=2时，有，∴a1=3

当n≥2时，有

∴（an+an-1）（an-an-1-2）=0又∵an＞0，∴an-an-1=2，

∴数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列，

∴an=1+（n-1）×2=2n-1

（2）由于bn=20-an=21-2n，则b1=19，bn-bn-1=-2＜0．

∴{bn}是递减数列，

令，

∴n=10，即数列{bn}的前10项和最大．

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题型：简答题

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简答题

已知数列{an}的前n项为和Sn，点在直线上．数列{bn}满足，且b3=11，前9项和为153．

（I）求数列{an}、{bn}的通项公式；

（II）设，问是否存在m∈N*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意，得，即．…（1分）

故当n≥2时，．…（3分）

当n=1时，a1=Sl=6，所以，an=n+5（n∈N*）． …（4分）

又bn+1-2bn+1+bn=0，即bn+2-bn+l=bn+1-bn（n∈N*），所以{bn}为等差数列，…（5分）

于是．而b3=11，故．…（7分）

因此，bn=b3+3（n-3）=3n+2，即bn=3n+2（n∈N*）． …（8分）

（Ⅱ）…（9分）

①当m为奇数时，m+15为偶数．

此时f（m+15）=3（m+15）+2=3m+47，5f（m）=5（m+5）=5m+25，

所以3m+47=5m+25，m=11． …（1分）

②当m为偶数时，m+15为奇数，

此时f（m+15）=m+15+5=m+20，5f（m）=5（3m+2）=15m+10，

所以m+20=15m+10，m=（舍去）． …（13分）

综上，存在唯一正整数m=11，使得f（m+15）=5f（m）成立． …（14分）

解析

解：（Ⅰ）由题意，得，即．…（1分）

故当n≥2时，．…（3分）

当n=1时，a1=Sl=6，所以，an=n+5（n∈N*）． …（4分）

又bn+1-2bn+1+bn=0，即bn+2-bn+l=bn+1-bn（n∈N*），所以{bn}为等差数列，…（5分）

于是．而b3=11，故．…（7分）

因此，bn=b3+3（n-3）=3n+2，即bn=3n+2（n∈N*）． …（8分）

（Ⅱ）…（9分）

①当m为奇数时，m+15为偶数．

此时f（m+15）=3（m+15）+2=3m+47，5f（m）=5（m+5）=5m+25，

所以3m+47=5m+25，m=11． …（1分）

②当m为偶数时，m+15为奇数，

此时f（m+15）=m+15+5=m+20，5f（m）=5（3m+2）=15m+10，

所以m+20=15m+10，m=（舍去）． …（13分）

综上，存在唯一正整数m=11，使得f（m+15）=5f（m）成立． …（14分）

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题型：简答题

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简答题

公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知，．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn；

（Ⅱ）记，若自然数η1，η2，…，ηk，…满足1≤η1＜η2＜…＜ηk＜…，并且成等比数列，其中η1=1，η2=3，求ηk（用k表示）；

（Ⅲ）记，试问：在数列{cn}中是否存在三项cr，cs，ct（r＜s＜t，r，s，t∈N*）恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）∵，，∴d=2

所以，

（Ⅱ）由题意，bn=2n，首项b1=2，又数列，

的公比

∴，又，∴ηk=3k-1

（Ⅲ）易知，假设存在三项cr，cs，ct成等比数列，则cs2=cr•ct，

即，

整理得

①当2s-r-t≠0时，，

∵r，s，t∈N*，∴是

有理数，这与为无理数矛盾

②当2s-r-t=0时，则rt+r+t-s2-2s=0，从而，

解得r=t，这与r＜t矛盾．

综上所述，不存在满足题意的三项cr，cs，ct

解析

解：（Ⅰ）∵，，∴d=2

所以，

（Ⅱ）由题意，bn=2n，首项b1=2，又数列，

的公比

∴，又，∴ηk=3k-1

（Ⅲ）易知，假设存在三项cr，cs，ct成等比数列，则cs2=cr•ct，

即，

整理得

①当2s-r-t≠0时，，

∵r，s，t∈N*，∴是

有理数，这与为无理数矛盾

②当2s-r-t=0时，则rt+r+t-s2-2s=0，从而，

解得r=t，这与r＜t矛盾．

综上所述，不存在满足题意的三项cr，cs，ct

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题型：简答题

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简答题

已知{an}是等差数列，a7=-2，a4=16，求a10．

正确答案

解：a7-a4=3d=-18

∴d=-6

∴a10=a7+3d=-20

解析

解：a7-a4=3d=-18

∴d=-6

∴a10=a7+3d=-20

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题型：填空题

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填空题

（1）正弦定理______，（2）余弦定理，cosA=______，（3）等差数列定义式______，通项公式______．

正确答案

==

an-an-1=d（n≥2，n∈N*）

an=a1+（n-1）d

解析

解：（1）正弦定理是：△ABC中，各边和它所对角的正弦之比相等，

用公式表示为==，其中角、、所对的边长分别为、、；

（2）余弦定理是：△ABC中，已知三边a、b、c，可以得出三角形的三个内角的余弦值，

即cosA=，cosB=，cosC=；

（3）等差数列定义是如果一个数列的每一项与它前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列；

∴它的定义式为：an-an-1=d（n≥2，n∈N*）；

通项公式为：an=a1+（n-1）d．

故答案为：（1）==，（2）cosA=，（3）an-an-1=d（n≥2，n∈N*），an=a1+（n-1）d．

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题型：填空题

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填空题

已知等差数列{an}，其中a1=，a2+a5=4，an=33，则n的值为______．

正确答案

50

解析

解：在等差数列{an}，由a1=，a2+a5=4，得

2a1+5d=4，即，．

∴，

由an=33，得

，解得：n=50．

故答案为：50．

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题型：填空题

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填空题

等差数列{an}中，a2=8，a8=2，那么a10=______．

正确答案

80

解析

解：∵等差数列{an}中，a2=8，a8=2，

∴，

解得a1=-1，d=9，

∴a10=a1+9d=-1+81=80．

故答案为：80．

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题型：填空题

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填空题

把正奇数数列{2n-1}的各项从小到大依次排成如右图形状数表：记M（s，t）表示该表中第s行的第t个数，则表中的奇数2011对应于第______行的第______个数．

正确答案

45

16

解析

解：∵2011=2×1006-1

∴2011在正奇数数列{2n-1}中是第1006项

又∵S=1+2+3+…+n=

当n=44时，S=990∴第44行最后一个数是正奇数数列{2n-1}中的第990项

∵第45行共有45个数

∴正奇数数列{2n-1}中的第1006项在第45行第16个数

故答案为：45，16

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题型：填空题

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填空题

把正奇数数列{2n-1}的各项从小到大依次排成如右图形状数表：记M（s，t）表示该表中第s行的第t个数，则表中的奇数2011对应于第______行的第______个数．

正确答案

45

16

解析

解：∵2011=2×1006-1

∴2011在正奇数数列{2n-1}中是第1006项

又∵S=1+2+3+…+n=

当n=44时，S=990∴第44行最后一个数是正奇数数列{2n-1}中的第990项

∵第45行共有45个数

∴正奇数数列{2n-1}中的第1006项在第45行第16个数

故答案为：45，16

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题型：填空题

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填空题

设{an}是公差不为零的等差数列，a1=2且a1，a3，a6成等比数列，则a2014=______．

正确答案

解析

解：∵{an}是公差不为零的等差数列，a1=2且a1，a3，a6成等比数列，

∴（2+2d）2=2（2+5d），解d=或d=0（舍），

∴=．

故答案为：．

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