- 等差数列
- 共11217题
（文）已知函数f（x）=2sinx+3tanx．项数为27的等差数列{an}满足
正确答案
14
解析
解：∵f（a1）+f（a27）=2sina1+3tana1+2sina27+3tana27
=2（sina1+sina27）+
=
=4sina14cos13d+
=
同理f（a2）+f（a26）=
…，
f（a14）=2sina14+3tana14=
∵f（a1）+f（a2）+…+f（a27）=0，∴sina14=0．
∴f（a14）=0，
∴当k值为14时有f（a14）=0．
故答案为：0．
在等差数列{an}中，已知a5=6，a8=15，求首项a1与公差d．
正确答案
解：在等差数列{an}中，由a5=6，a8=15，
得
∴a1=a5-4d=6-4×3=-6．
解析
解：在等差数列{an}中，由a5=6，a8=15，
得
∴a1=a5-4d=6-4×3=-6．
已知数列{an}是等差数列，且a2+a5+a8=π，则sina5=______．
正确答案
解析
解：由等差数列的性质可得，a2+a5+a8=3a5=π，
∴a5=
故答案为：
已知{an}为等差数列，其公差为-2，且a7是a3与a9的等比中项，求数列的通项公式an．
正确答案
解：设等差数列{an}的首项为a1，由公差d=-2，
得a7=a1+6d=a1-12，a3=a1+2d=a1-4，a9=a1+8d=a1-16．
∵a7是a3与a9的等比中项，
∴
∴
解得：a1=20．
∴an=20+（n-1）（-2）=22-2n．
解析
解：设等差数列{an}的首项为a1，由公差d=-2，
得a7=a1+6d=a1-12，a3=a1+2d=a1-4，a9=a1+8d=a1-16．
∵a7是a3与a9的等比中项，
∴
∴
解得：a1=20．
∴an=20+（n-1）（-2）=22-2n．
在等差数列{an}中，若a2+a4+a6+a8+a10=80，则a6=______．
正确答案
16
解析
解：由等差数列的性质可得a2+a10=a4+a8=2a6，
∵在等差数列{an}中，若a2+a4+a6+a8+a10=80，
∴5a6=80，解得a6=16
故答案为：16
（文）已知函数f（x）=2sinx+3tanx．项数为27的等差数列{an}满足
正确答案
14
解析
解：∵f（a1）+f（a27）=2sina1+3tana1+2sina27+3tana27
=2（sina1+sina27）+
=
=4sina14cos13d+
=
同理f（a2）+f（a26）=
…，
f（a14）=2sina14+3tana14=
∵f（a1）+f（a2）+…+f（a27）=0，∴sina14=0．
∴f（a14）=0，
∴当k值为14时有f（a14）=0．
故答案为：0．
设0＜x＜y，且x，a，y是等差数列，x，b，c，y是等比数列，求证：
（1）a＞
（2）（a+1）2＜（b+1）（c+1）．
正确答案
证明：由x，a，y是等差数列，得2a=x+y，
由x，b，c，y是等比数列，0＜x＜y，知公比q＞1，且xy=bc．
（1）∵2a-（b+c）=x+y-（b+c）=x-xq+xq3-xq2
=x（1-q）+xq2（q-1）=x（q-1）（q2-1）＞0．
∴a＞
（2）（a+1）2=a2+2a+1=
∴（a+1）2＜（b+1）（c+1）．
解析
证明：由x，a，y是等差数列，得2a=x+y，
由x，b，c，y是等比数列，0＜x＜y，知公比q＞1，且xy=bc．
（1）∵2a-（b+c）=x+y-（b+c）=x-xq+xq3-xq2
=x（1-q）+xq2（q-1）=x（q-1）（q2-1）＞0．
∴a＞
（2）（a+1）2=a2+2a+1=
∴（a+1）2＜（b+1）（c+1）．
已知数列{log2（an-1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明
正确答案
（I）解：设等差数列{log2（an-1）}的公差为d．
由a1=3，a3=9得2（log22+d）=log22+log28，即d=1．
所以log2（an-1）=1+（n-1）×1=n，即an=2n+1．
（II）证明：因为
所以
即得证．
解析
（I）解：设等差数列{log2（an-1）}的公差为d．
由a1=3，a3=9得2（log22+d）=log22+log28，即d=1．
所以log2（an-1）=1+（n-1）×1=n，即an=2n+1．
（II）证明：因为
所以
即得证．
数列{an}中，a1=5，an+1=an+5，那么这个数列的通项公式是______．
正确答案
an=5n
解析
解：∵数列{an}中，a1=5，an+1=an+5，
∴an+1-an=5，即数列{an}为公差d=5的等差数列，
∴该数列的通项公式an=5+5（n-1）=5n，
故答案为：an=5n．
已知函数f（x）=x2-x，等差数列{an}中，a1=f（x+1），a2=1，a3=f（x）．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）当数列{an}是递减数列时，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值．
正确答案
解：（1）∵f（x）=x2-x，等差数列{an}中，a1=f（x+1）=（x+1）2-（x+1）=x2+x，a2=1，a3=f（x）=x2-x，
∴2×1=x2+x+x2-x=2x2，即x=±1．
当x=-1时，a1=0，公差d=a2-a1=1，∴an=n-1；
当x=1时，a1=2，公差d=a2-a1=1-2=-1，∴an=2+（n-1）×（-1）=3-n．
（2）∵数列{an}是递减数列，∴an=3-n，
由an=3-n≥0，得n≤3．
∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|=a1+a2+a3-（a4+a5+…+a20）
=2（a1+a2+a3）-（a1+a2+…+a20）=2（2+1+0）-20×2+
解析
解：（1）∵f（x）=x2-x，等差数列{an}中，a1=f（x+1）=（x+1）2-（x+1）=x2+x，a2=1，a3=f（x）=x2-x，
∴2×1=x2+x+x2-x=2x2，即x=±1．
当x=-1时，a1=0，公差d=a2-a1=1，∴an=n-1；
当x=1时，a1=2，公差d=a2-a1=1-2=-1，∴an=2+（n-1）×（-1）=3-n．
（2）∵数列{an}是递减数列，∴an=3-n，
由an=3-n≥0，得n≤3．
∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|=a1+a2+a3-（a4+a5+…+a20）
=2（a1+a2+a3）-（a1+a2+…+a20）=2（2+1+0）-20×2+
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