- 等差数列
- 共11217题
等差数列{an}中，a1=1，a2=3，则217是这个数列的第______项．
正确答案
109
解析
解：∵数列{an}为等差数列，且a1=1，a2=3，，
∴d=a2-a1=3-1=2，
∴an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1
令2n-1=217，解得，n=109
∴217是这个数列的第109项
故答案为109
已知数列{an}的前n项和Sn=2an-3•2n+4，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设Tn为数列{Sn-4}的前n项和，求Tn．
正确答案
解：（Ⅰ）∵a1=S1=2a1-2，∴a1=2．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1，an=2an-1+3×2n-1，于是
令
∴an=2nbn=2n-1（3n-1）．
（Ⅱ）∵Sn-4=2n（3n-4）=3×2n×n-2n+2，
∴Tn=3（2×1+22×2++2n×n）-4（2+22++2n），
记Wn=2×1+22×2++2n×n①，则2Wn=22×1+23×2++2n+1×n②，
①-②有-Wn=2×1+22++2n-2n+1×n=2n+1（1-n）-2，
∴Wn=2n+1（n-1）+2．
故
解析
解：（Ⅰ）∵a1=S1=2a1-2，∴a1=2．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1，an=2an-1+3×2n-1，于是
令
∴an=2nbn=2n-1（3n-1）．
（Ⅱ）∵Sn-4=2n（3n-4）=3×2n×n-2n+2，
∴Tn=3（2×1+22×2++2n×n）-4（2+22++2n），
记Wn=2×1+22×2++2n×n①，则2Wn=22×1+23×2++2n+1×n②，
①-②有-Wn=2×1+22++2n-2n+1×n=2n+1（1-n）-2，
∴Wn=2n+1（n-1）+2．
故
已知等差数列{an}的公差为d且a1=2．若当且仅当n=6时，该数列的前n项和Sn取到最大值，则d的取值范围是______．
正确答案
解析
解：由题意可得 a6=2+5d＞0，且a7=2+6d＜0，解得-
故答案为 
公差为d，各项均为正整数的等差数列{an}中，若a1=1，an=73，则n+d的最小值等于______．
正确答案
18
解析
解：由an=a1+（n-1）d=1+（n-1）d=73，得
因为等差数列{an}的各项均为正整数，所以公差d因为正整数．
当n=2时，d=72；当n=3时，d=36；当n=4时，d=24；当n=5时，d=18；
当n=7时，d=12；当n=9时，d=9；当n=10时，d=8；当n=13时，d=6；
当n=19时，d=4；当n=37时，d=2；当n=73时，d=1．
所以n+d的最小值等于18．
故答案为18．
已知数列{an}满足：an+1-1=an，且a1=2，则an=______．
正确答案
n+1
解析
解：∵数列{an}满足：an+1-1=an，
∴an+1-an=1．
∴数列{an}是等差数列，公差d=1，首项a1=2．
∴an=a1+（n-1）d=2+n-1=n+1．
故答案为：n+1．
等差数列{an}，a1，a2，a3，…，am的和为64，而且am-1+a2=8，那么项数m=______．
正确答案
16
解析
解：根据题意，得
m•
又a1+am=am-1+a2，am-1+a2=8，
所以4m=64，
解得m=16．
故答案为：16．
Sn是等差数列{an}的前n项和，a5=11，
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设
正确答案
解：（Ⅰ）由已知可得：a1+4d=11（1分）
解得：a1=3，d=2（5分）
∴an=2n+1（6分）
（Ⅱ）∵an=2n+1
∴
∴
∵a≠0
∴{bn}是等比数列（7分）
b1=a3q=a2（8分）
∴（1）当a=1时，b1=1，q=1，Tn=n（9分）
（2）当a≠1时，
综上：
解析
解：（Ⅰ）由已知可得：a1+4d=11（1分）
解得：a1=3，d=2（5分）
∴an=2n+1（6分）
（Ⅱ）∵an=2n+1
∴
∴
∵a≠0
∴{bn}是等比数列（7分）
b1=a3q=a2（8分）
∴（1）当a=1时，b1=1，q=1，Tn=n（9分）
（2）当a≠1时，
综上：
设Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和，且S7=14a5，若am=0，则m=______．
正确答案
6
解析
解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由S7=14a5，得7a4=14a5，
即a4=2a5，
a1+3d=2（a1+4d），
∴a1=-5d．
由am=a1+（m-1）d=-5d+（m-1）d=0，得m=6．
故答案为：6．
已知等差数列{an}的公差为d且a1=2．若当且仅当n=6时，该数列的前n项和Sn取到最大值，则d的取值范围是______．
正确答案
解析
解：由题意可得 a6=2+5d＞0，且a7=2+6d＜0，解得-
故答案为 
公差为d，各项均为正整数的等差数列{an}中，若a1=1，an=73，则n+d的最小值等于______．
正确答案
18
解析
解：由an=a1+（n-1）d=1+（n-1）d=73，得
因为等差数列{an}的各项均为正整数，所以公差d因为正整数．
当n=2时，d=72；当n=3时，d=36；当n=4时，d=24；当n=5时，d=18；
当n=7时，d=12；当n=9时，d=9；当n=10时，d=8；当n=13时，d=6；
当n=19时，d=4；当n=37时，d=2；当n=73时，d=1．
所以n+d的最小值等于18．
故答案为18．
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