- 等差数列
- 共11217题
已知a1、a2、a3、a4四个数，a1、a2、a3成等差数列，a2、a3、a4成等比数列，a1+a4=12，a2+a3=9，求a1、a2、a3、a4．
正确答案
解：∵a1+a4=12，a2+a3=9，
又∵2a2=a1+a3，a32=a2a4，
∴a3=9-a2，a1=3a2-9，a4=21-3a2；
∴（9-a2）2=a2（21-3a2），
解得a2=3或a2=
当a2=3时，a1=0，a3=6，a4=12；
当a2=
∴四数分别为0，3，6，12．或
解析
解：∵a1+a4=12，a2+a3=9，
又∵2a2=a1+a3，a32=a2a4，
∴a3=9-a2，a1=3a2-9，a4=21-3a2；
∴（9-a2）2=a2（21-3a2），
解得a2=3或a2=
当a2=3时，a1=0，a3=6，a4=12；
当a2=
∴四数分别为0，3，6，12．或
数列{an}是等差数列，a1=1，an=-512，Sn=-1022，求公差d．
正确答案
解：∵an=a1+（n-1）d，Sn=na1+
又a1=1，an=-512，Sn=-1022，
∴
把（n-1）d=-513代入②，得
n+
解得n=4，∴d=-171．
解析
解：∵an=a1+（n-1）d，Sn=na1+
又a1=1，an=-512，Sn=-1022，
∴
把（n-1）d=-513代入②，得
n+
解得n=4，∴d=-171．
已知{an}是等差数列，a3=4，a6+a9=-10，前n项和为Sn，
（1）求通项公式an
（2）当n为何值时Sn最大，并求出最大值．
正确答案
解：（1）∵{an}是等差数列，a3=4，a6+a9=-10，
∴
解得a1=8，d=-2，
∴an=8+（n-d）×（-2）=-2n+10．
（2）
=-n2+9n
=-（n-
∴当n=4或5时，Sn最大，最大值S4=S5=20．
解析
解：（1）∵{an}是等差数列，a3=4，a6+a9=-10，
∴
解得a1=8，d=-2，
∴an=8+（n-d）×（-2）=-2n+10．
（2）
=-n2+9n
=-（n-
∴当n=4或5时，Sn最大，最大值S4=S5=20．
已知P（x，y）是函数f（x）的图象上的一点，
正确答案
18
解析
解：∵
y-2x-（x-2）5=0，即y=（x-2）5+2x，即f（x）=（x-2）5+2x，
令g（x）=f（x+2）-4=x5+2x，
则函数g（x）为奇函数，且是定义域内的增函数，
由f（a1）+f（a2）+…+f（a9）=36，
得g（a1-2）+g（a2-2）+…+g（a9-2）=0，
又数列{an}是公差不为0的等差数列，
∴g（a5-2）=0，即a5-2=0，a5=2，
∴a1+a2+…+a9=9a5=9×2=18．
故答案为：18．
在等差数列{an}中，已知a4=70，a21=-100．
（1）求首项a1和公差d，并写出通项公式．
（2）{an}中有多少项属于区间[-18，18]？
正确答案
解：（1）设此等差数列的首项a1和公差d，由a4=70，a21=-100得：a1+3d=70，a1+20d=-100
所以a1=100，d=-10，所以an=a1+（n-1）d=-10n+110；
（2）由题意知：an∈[-18，18]即-18≤-10n+110≤18，解得9.2≤n≤12.8
因为n取正整数，所以n=10，11，12，所以{an}中有3项属于区间[-18，18]．
解析
解：（1）设此等差数列的首项a1和公差d，由a4=70，a21=-100得：a1+3d=70，a1+20d=-100
所以a1=100，d=-10，所以an=a1+（n-1）d=-10n+110；
（2）由题意知：an∈[-18，18]即-18≤-10n+110≤18，解得9.2≤n≤12.8
因为n取正整数，所以n=10，11，12，所以{an}中有3项属于区间[-18，18]．
已知等差数列{an}的公差d不为0，且a1，a3，a7成等比数列，则
正确答案
2
解析
解：由题意可得：
因为公差d不为0，故2d-a1=0，解得a1=2d≠0，故
故答案为：2
等差数列{an}中，a3+a4=9，a2a5=18，则a1a6=______．
正确答案
解：由等差数列的性质可得a2+a5=a3+a4=9，
又a2a5=18，所以a2、a5方程x2-9x+18=0两个根，
解得
故可得数列的公差d=
则
∴a1a6=14，
故答案为：14．
解析
解：由等差数列的性质可得a2+a5=a3+a4=9，
又a2a5=18，所以a2、a5方程x2-9x+18=0两个根，
解得
故可得数列的公差d=
则
∴a1a6=14，
故答案为：14．
已知数列{an}满足：a1=1，an+an+1=4n，Sn是数列{an}的前n项和；数列{bn}前n项的积为Tn，且
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式
（2）是否存在常数a，使得{Sn-a}成等差数列？若存在，求出a，若不存在，说明理由．
（3）求数列
正确答案
解：（1）由题知an+an+1=4n，可得an+1+an+2=4（n+1），两式相减即得
an+2-an=4，即数列{an}隔项成等差数列
又a1=1，代入式子可得a2=3，
∴n为奇数时，
n为偶数时，
∴n∈N+，an=2n-1…（4分）
又当n=1时 
n≥2时
∴n∈N+，
（2）由（1）知an=2n-1，数列{an}成等差数列
∴
∴
若存在常数a，使得{Sn-a}成等差数列，则（Sn-a）+（Sn+2-a）=2（Sn+1-a）在n∈N+时恒成立
即n2-a+（n+2）2-a=2（（n+1）2-a）化简得：4=2，矛盾
故常数a不存在 …（10分）
（3）由（2）知
∴
=
解析
解：（1）由题知an+an+1=4n，可得an+1+an+2=4（n+1），两式相减即得
an+2-an=4，即数列{an}隔项成等差数列
又a1=1，代入式子可得a2=3，
∴n为奇数时，
n为偶数时，
∴n∈N+，an=2n-1…（4分）
又当n=1时
n≥2时
∴n∈N+，
（2）由（1）知an=2n-1，数列{an}成等差数列
∴
∴
若存在常数a，使得{Sn-a}成等差数列，则（Sn-a）+（Sn+2-a）=2（Sn+1-a）在n∈N+时恒成立
即n2-a+（n+2）2-a=2（（n+1）2-a）化简得：4=2，矛盾
故常数a不存在 …（10分）
（3）由（2）知
∴
=
填空题：
（1）已知等差数列2，6，10，14，…，则d=______，an=______，a10=______；
（2）已知等差数列12，10，8，…，则d=______，an=______，a10=______；
（3）已知等差数列a1=1，a6=-2，则d=______，S6=______；
（4）已知等差数列a2=15，a6=27，则d=______，S6=______；
（5）
（6）6与10的等差中项是______．
正确答案
4
4n-2
38
-2
-2n+14
-6
-3
3
117
8
解析
解：（1）等差数列2，6，10，14，…的公差d=4，an=2+4（n-1）=4n-2，a10=40-2=38；
（2）等差数列12，10，8，…的公差d=-2，an=12-2（n-1）=-2n+14，a10=-20+14=-6；
（3）由a1=1，a6=-2，得
（4）由a2=15，a6=27，得
（5）设
（6）设6与10的等差中项是B，则B=
故答案为：（1）4，4n-2，38；（2）-2，-2n+14，-6；（3）
已知等差数列{an}的公差不为零，a1=25，且a
正确答案
解：设等差数列{an}的公差为d（d≠0），
∵a1=25，且a
∴（25+10d）2=25×（25+12d），
解得d=0（舍去）或d=-2，
∴数列的通项公式为：
an=25-2（n-1）=27-2n．
解析
解：设等差数列{an}的公差为d（d≠0），
∵a1=25，且a
∴（25+10d）2=25×（25+12d），
解得d=0（舍去）或d=-2，
∴数列的通项公式为：
an=25-2（n-1）=27-2n．
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