等差数列_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知函数y=f（x）的图象经过坐标原点，且f′（x）=2x-1，数列{an}的前n项和Sn=f（n）（n∈N*）．

（I）求数列{an}的通项公式；

（II）若数列{bn}满足an+log3n=log3bn，求数列{bn}的前n项和．

（Ⅲ）设Pn=a1+a4+a7+…+a3n-2，Qn=a10+a12+a14+…+a2n+8，其中n∈N*，试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论．

正确答案

解：（I）由f′（x）=2x-1得f（x）=x2-x+b（b∈R）

因为y=f（x）的图象过原点，所以f（x）=x2-x

所以Sn=n2-n（2分）

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-2

又因为a1=S1=0适合an=2n-2

所以数列{an}的通项公式为an=2n-2（n∈N*）（4分）

（II）由an+log3n=log3bn得：（5分）

所以Tn=b1+b2+b3+bn=30+2•32+3•34++n•32n-2（1）

所以9Tn=32+2•34+3•36++n•32n（2）（6分）

（2）-（1）得：8Tn=n•32n-（1+32+34+36++32n-2）=

所以（8分）

（Ⅲ）a1，a4，a7，a3n-2组成以0为首项6为公差的等差数列，所以M；（9分）

a10，a12，a14，，a2n+8组成以18为首项4为公差的等差数列，所以（10分）

故Pn-Qn=3n2-3n-2n2-16n=n2-19n=n（n-19）（11分）

所以，对于正整数n，当n≥20时，Pn＞Qn；

当n=19时，Pn=Qn；

当n≤18时，Pn＜Qn．（14分）

解析

解：（I）由f′（x）=2x-1得f（x）=x2-x+b（b∈R）

因为y=f（x）的图象过原点，所以f（x）=x2-x

所以Sn=n2-n（2分）

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-2

又因为a1=S1=0适合an=2n-2

所以数列{an}的通项公式为an=2n-2（n∈N*）（4分）

（II）由an+log3n=log3bn得：（5分）

所以Tn=b1+b2+b3+bn=30+2•32+3•34++n•32n-2（1）

所以9Tn=32+2•34+3•36++n•32n（2）（6分）

（2）-（1）得：8Tn=n•32n-（1+32+34+36++32n-2）=

所以（8分）

（Ⅲ）a1，a4，a7，a3n-2组成以0为首项6为公差的等差数列，所以M；（9分）

a10，a12，a14，，a2n+8组成以18为首项4为公差的等差数列，所以（10分）

故Pn-Qn=3n2-3n-2n2-16n=n2-19n=n（n-19）（11分）

所以，对于正整数n，当n≥20时，Pn＞Qn；

当n=19时，Pn=Qn；

当n≤18时，Pn＜Qn．（14分）

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题型：填空题

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填空题

+1与-1两数的等差中项是______．

正确答案

解析

解：由等差中项的概念知，+1与-1两数的等差中项是．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

有四个正整数从小到大排成一列，前三个数成等差数列，公差为2，后三个数又成等比数列，则这四个数之和为______．

正确答案

21

解析

解：因为前三个数成等差数列，公差为2，所以可设前三个数分别是（a-2），a，（a+2），且a＞2，设第四个数为b

又因为后三个数成等比数列，所以（a+2）2=ab

即a2+4a+4=ab

即b=a+4+，

又因为a，b是整数，所以4能被a整除，所以a=4，（因为a＞2所以a=2，1都要舍去）

把a=4代入b=a+4+，得b=9．

所以这四个数分别是2，4，6，9

和是2+4+6+9=21．

故答案为21．

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题型：简答题

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简答题

已知数列{an}中，a1=1，nan+1=2（a1+a2+…+an）

（1）求a2，a3，a4；

（2）求数列{an}的通项an；

（3）设数列{bn}满足，证明：①（； ②bn＜1．

正确答案

（1）解：∵a1=1，nan+1=2（a1+a2+…+an），

∴a2=2a1=2，

2a3=2（a1+a2）=6，a3=3，

3a4=2（a1+a2+a3）=12，a4=4；（3分）

（2）解：nan+1=2（a1+a2++an）①

（n-1）an=2（a1+a2+…+an-1）②

①-②得nan+1-（n-1）an=2an，

即：nan+1=（n+1）an，（6分）

所以

所以an=n（n∈N*）；（8分）

（3）证明：①由（2）得：

＞bn＞bn-1＞…＞b1＞0，

所以数列{bn}是正项单调递增数列，（10分）

当n≥1，，

所以，（12分）

②1°当n=1时，显然成立．

2°当n≥2时，

＞-

=

=，所以，

综上可知，bn＜1成立．（14分）

解析

（1）解：∵a1=1，nan+1=2（a1+a2+…+an），

∴a2=2a1=2，

2a3=2（a1+a2）=6，a3=3，

3a4=2（a1+a2+a3）=12，a4=4；（3分）

（2）解：nan+1=2（a1+a2++an）①

（n-1）an=2（a1+a2+…+an-1）②

①-②得nan+1-（n-1）an=2an，

即：nan+1=（n+1）an，（6分）

所以

所以an=n（n∈N*）；（8分）

（3）证明：①由（2）得：

＞bn＞bn-1＞…＞b1＞0，

所以数列{bn}是正项单调递增数列，（10分）

当n≥1，，

所以，（12分）

②1°当n=1时，显然成立．

2°当n≥2时，

＞-

=

=，所以，

综上可知，bn＜1成立．（14分）

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题型：填空题

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填空题

在数列{an}（n∈N*）中，设a1=a2=1，a3=2．若数列{}是等差数列，则a6=______．

正确答案

120

解析

解：∵数列{}是等差数列，

∴公差d=．

则．

则，…．

累积得：，

∴a6=120．

故答案为：120．

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题型：填空题

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填空题

数列{an}中，a1=5，an+1=an+3，则a10=______．

正确答案

32

解析

解：由an+1=an+3，得an+1-an=3，

∴数列{an}为等差数列，且公差d=3，

又a1=5，

∴an=a1+（n-1）d=5+3（n-1）=3n+2．

∴a10=3×10+2=32．

故答案为：32．

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题型：填空题

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填空题

数列{an}的前n项的和Sn=3n2+n，则此数列的通项公式an=______．

正确答案

6n-2

解析

解：：（1）当n=1时，a1=S1=4．

当n≥2时，

an=sn-sn-1=3n2+n-3（n-1）2-（n-1）=6n-2

当n=1时，也符合上式，

∴an=6n-2

故答案为：6n-2

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题型：简答题

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简答题

在等差数列{an}中，a3+a7=26，a1a9=25，求a11的值．

正确答案

解：由题意和等差数列的性质可得a1+a9=a3+a7=26，

又a1a9=25，∴a1，a9为方程x2-26x+25=0的实根，

解方程可得a1=1且a9=25，或a1=25且a9=1，

当a1=1且a9=25时，数列的公差d==3，a11=1+10×3=31；

当a1=25且a9=1时，数列的公差d=-=-3，a11=25+10×（-3）=-5．

解析

解：由题意和等差数列的性质可得a1+a9=a3+a7=26，

又a1a9=25，∴a1，a9为方程x2-26x+25=0的实根，

解方程可得a1=1且a9=25，或a1=25且a9=1，

当a1=1且a9=25时，数列的公差d==3，a11=1+10×3=31；

当a1=25且a9=1时，数列的公差d=-=-3，a11=25+10×（-3）=-5．

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题型：填空题

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填空题

设函数f（x）=2x-cosx，{an}是公差为的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，则[f（a3）]2-a1a5=______．

正确答案

解析

解：∵f（x）=2x-cosx，

∴可令g（x）=2x+sinx，∵{an}是公差为的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π

∴g（a1-）+g（a2-）+…+g（a5-）=0，则a3=，a1=，a5=

∴[f（a3）]2-a1a5=π2-=，

故答案为：

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题型：填空题

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填空题

已知等差数列{an}满足a3=7，S6=48，则an=______．

正确答案

2n+1

解析

解：设等差数列{an}的公差为d，∵a3=7，S6=48，

∴，解得a1=3，d=2．

则an=3+2（n-1）=2n+1．

故答案为：2n+1．

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