- 等差数列
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已知数列{log2an}是以2为公差的等差数列，且a1=1，则an=______．
正确答案
4n-1
解析
解：由题意可得log2an =0+（n-1）2=2n-2，∴an =22n-2=4n-1，
故答案为：4n-1．
Bn为顶点的等腰三角形．
（1）求{yn}的通项公式，且证明{yn}是等差数列；
（2）试判断xn+2-xn是否为同一常数（不必证明），并求出数列{xn}的通项公式；
（3）在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由．
正确答案
解：（1）yn=
（2）xn+1-xn=2为常数（6¢）∴x1，x3，x5，…，x2n-1及x2，x4，x6，x2n都是公差为2的等差数列，
∴x2n-1=x1+2（n-1）=2n-2+a，x2n=x2+2（n-1）=2-a+2n-2=2n-a，
∴xn=
（3）要使AnBnAn+1为直角三形，则|AnAn+1|=2，
当n为奇数时，xn+1=n+1-a，xn=n+a-1，∴xn+1-xn=2（1-a）．
2（1-a）=2（
取n=1，得a=
当偶数时，xn+1=n+a，xn=n-a，
∴xn+1-xn=2a．
∴2a=2（
若n≥4，则（*）无解．
综上可知，存在直角三形，此时a的值为
解析
解：（1）yn=
（2）xn+1-xn=2为常数（6¢）∴x1，x3，x5，…，x2n-1及x2，x4，x6，x2n都是公差为2的等差数列，
∴x2n-1=x1+2（n-1）=2n-2+a，x2n=x2+2（n-1）=2-a+2n-2=2n-a，
∴xn=
（3）要使AnBnAn+1为直角三形，则|AnAn+1|=2，
当n为奇数时，xn+1=n+1-a，xn=n+a-1，∴xn+1-xn=2（1-a）．
2（1-a）=2（
取n=1，得a=
当偶数时，xn+1=n+a，xn=n-a，
∴xn+1-xn=2a．
∴2a=2（
若n≥4，则（*）无解．
综上可知，存在直角三形，此时a的值为
设数列{an}的前n项和Sn=n2，则a8=______．
正确答案
15
解析
解：∵an=Sn-Sn-1（n≥2），Sn=n2
∴a8=S8-S7=64-49=15
故答案为15
已知Sn为等差数列{an}的前n和，若a4=-48，a9=-33，
（1）求an的通项公式；
（2）当n为何值时，Sn最小？．
正确答案
解：（1）设等差数列的公差为d，
由a4=-48，a9=-33，得到
②-①得：5d=15，解得：d=3，把d=3代入①，解得：a1=-57，
则an=-57+3（n-1）=3n-60；
（2）由（1）得：Sn=
所以Sn是关于n的开口向上的抛物线，
当n=-
则当n=19、20时，Sn最小．
解析
解：（1）设等差数列的公差为d，
由a4=-48，a9=-33，得到
②-①得：5d=15，解得：d=3，把d=3代入①，解得：a1=-57，
则an=-57+3（n-1）=3n-60；
（2）由（1）得：Sn=
所以Sn是关于n的开口向上的抛物线，
当n=-
则当n=19、20时，Sn最小．
求证：∃m∈R，使得数列{nm}是等差数列，并求出所有m的值．
正确答案
证明：设数列{an}，其通项为an=nm，其中m∈R；
由{an}为等差数列，设其公差为d，则有
d=a2-a1=2m-1…①
d=a3-a2=3m-2m…②
d=a4-a3=4m-3m…③
设2m=x，3m=y，则
由①②得x-1=y-x…④
由②③得y-x=x2-y…⑤
解④⑤得x=1或x=2，
即m=0或m=1
验证，当m=1时，an=n，是等差数列；
当m=0时，an=1，也是等差数列；
所以m=0或m=1时，{an}为等差数列．
解析
证明：设数列{an}，其通项为an=nm，其中m∈R；
由{an}为等差数列，设其公差为d，则有
d=a2-a1=2m-1…①
d=a3-a2=3m-2m…②
d=a4-a3=4m-3m…③
设2m=x，3m=y，则
由①②得x-1=y-x…④
由②③得y-x=x2-y…⑤
解④⑤得x=1或x=2，
即m=0或m=1
验证，当m=1时，an=n，是等差数列；
当m=0时，an=1，也是等差数列；
所以m=0或m=1时，{an}为等差数列．
在等差数列中，a3+a4=9，a2a5=18，则a3a4=______．
正确答案
20
解析
解：在等差数列中，由a3+a4=9，a2a5=18，得
当
当
故答案为：20．
在等差数列{an}中，a1=120，d=-4，若Sn≤an（n≥2），则n的最小值为______．
正确答案
62
解析
解：在等差数列{an}中，由a1=120，d=-4，
得：an=a1+（n-1）d=120-4（n-1）=124-4n，
由Sn≤an，得：122n-2n2≤124-4n．
即n2-63n+62≥0．解得：n≤1或n≥62．
因为n≥2，所以n≥62．
所以n的最小值为62．
故答案为62．
已知各项不为0的等差数列{an}满足a4-2a72+3a8=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b2b8b11等于______．
正确答案
8
解析
解：设各项不为0的等差数列{an}公差为d，
∵a4-2a72+3a8=0，∴（a7-3d）-2a72+3（a7+d）=0，
解得a7=2，∴b7=a7=2，
∴b2b8b11=b6b8b7=b73=8，
故答案为：8．
根据下列条件，求相应的等差数列{an}的有关未知数．
（1）a1=20，an=54，Sn=999，求d及n；
（2）a1=
正确答案
解：（1）因为等差数列{an}中，a1=20，an=54，Sn=999，
所以999=
公差d=
所以d=
（2）因为等差数列{an}中，a1=
所以an=
又Sn=-5，则-5=
化简得，n2-11n-60=0，
解得n=15或n=-4（舍去），
所以n=15、an=
解析
解：（1）因为等差数列{an}中，a1=20，an=54，Sn=999，
所以999=
公差d=
所以d=
（2）因为等差数列{an}中，a1=
所以an=
又Sn=-5，则-5=
化简得，n2-11n-60=0，
解得n=15或n=-4（舍去），
所以n=15、an=
设数列{an}满足条件：a1=8，a2=0，a3=-7，且数列{an+1-an}（n∈N*）是等差数列．
（1）设cn=an+1-an，求数列{cn}的通项公式；
（2）求Sn=|c1|+|c2|+…+|cn|；
（3）数列{an}的最小项是第几项，并求出该项的值．
正确答案
解：（1）因为数列{an+1-an}是等差数列，
首项c1=a2-a1=-8，公差d=（-7-0）-（0-8）=1，
所以cn=-8+（n-1）•1=n-9
即cn=n-9，n∈N*；
（Ⅱ）由cn=n-9＞0得n＞9，
所以，当n≤9时，cn＜0，Sn=（-c1）+（-c2）+…+（-cn）
=
当n＞9时，cn＞0，Sn=C9+C10+…+Cn
=
（Ⅲ）由（1）得：an-an-1=n-10（n∈N，n＞1），
所以an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1
=（n-10）+（n-11）+…+（-8）+8=
当n=9或10时，第9及第10项的值最小为-28．
解析
解：（1）因为数列{an+1-an}是等差数列，
首项c1=a2-a1=-8，公差d=（-7-0）-（0-8）=1，
所以cn=-8+（n-1）•1=n-9
即cn=n-9，n∈N*；
（Ⅱ）由cn=n-9＞0得n＞9，
所以，当n≤9时，cn＜0，Sn=（-c1）+（-c2）+…+（-cn）
=
当n＞9时，cn＞0，Sn=C9+C10+…+Cn
=
（Ⅲ）由（1）得：an-an-1=n-10（n∈N，n＞1），
所以an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1
=（n-10）+（n-11）+…+（-8）+8=
当n=9或10时，第9及第10项的值最小为-28．
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