- 等差数列
- 共11217题
等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=50,则3a10-a14的值为______.
正确答案
20
解析
解:由等差数列的性质可得:50=a4+a6+a8+a10+a12=5a8,解得a8=10.
∴3a10-a14=a10+(a6+a14)-a14=a10+a6=2a8=20.
故答案为:20.
已知等差数列3,7,11,15,19,…,则通项公式an=______.
正确答案
4n-1
解析
解:由题意可得等差数列的首项为3,公差d=7-3=4,
∴通项公式an=3+4(n-1)=4n-1
故答案为:4n-1
已知a1、a2、a3、a4四个数,a1、a2、a3成等差数列,a2、a3、a4成等比数列,a1+a4=12,a2+a3=9,求a1、a2、a3、a4.
正确答案
解:∵a1+a4=12,a2+a3=9,
又∵2a2=a1+a3,a32=a2a4,
∴a3=9-a2,a1=3a2-9,a4=21-3a2;
∴(9-a2)2=a2(21-3a2),
解得a2=3或a2=,
当a2=3时,a1=0,a3=6,a4=12;
当a2=时,a1=
,a3=
,a4=
.
∴四数分别为0,3,6,12.或,
,
,
.
解析
解:∵a1+a4=12,a2+a3=9,
又∵2a2=a1+a3,a32=a2a4,
∴a3=9-a2,a1=3a2-9,a4=21-3a2;
∴(9-a2)2=a2(21-3a2),
解得a2=3或a2=,
当a2=3时,a1=0,a3=6,a4=12;
当a2=时,a1=
,a3=
,a4=
.
∴四数分别为0,3,6,12.或,
,
,
.
数列{an}是等差数列,a2=3,前四项和S4=16.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记,计算T2011.
正确答案
解:(1)由a2=3,S4=16,根据题意得:
,解得:
,
则an=1+2(n-1)=2n-1;
(2)∵=
=
(
-
),
∴T2011=
=+
+…+
+
+…+
=(1-
+
-
+…+
-
+…+
-
)
=(1-
)
=.
解析
解:(1)由a2=3,S4=16,根据题意得:
,解得:
,
则an=1+2(n-1)=2n-1;
(2)∵=
=
(
-
),
∴T2011=
=+
+…+
+
+…+
=(1-
+
-
+…+
-
+…+
-
)
=(1-
)
=.
在3与15之间插入两个数,使这四个数成等差数列,试求这两个数.
正确答案
解:设该等差数列的公差为d,
则d==4,3+4=7,3+2×4=11
∴插入的这两个数为7和11
解析
解:设该等差数列的公差为d,
则d==4,3+4=7,3+2×4=11
∴插入的这两个数为7和11
椭圆+
=1上有n个不同的点P1,P2,…,Pn,椭圆的右焦点为F,记an=|PnF|,若数列{an}是公差不小于
的等差数列,则n的最大值为______.
正确答案
201
解析
解:在椭圆+
=1中,a=2,c=1
∵椭圆上点到右焦点的最小距离是a-c=1,最大距离是a+c=3,
∵数列|PnF|是公差不小于的等差数列,
∴P1F=a-c=1,PnF=a+c=3,
∴公差d==
=
又∵数列|PnF|是公差不小于等差数列.
∴d≥,即
≥
,解得n≤201.
∴n的最大值为201
故答案为:201
等差数列{an}中,a4=5,且a3,a6,a10成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)写出数列{an}的前10项的和S10.
正确答案
解:(1)设数列{an}的公差为d,则
a3=a4-d=5-d,a6=a4+2d=5+2d,a10=a4+6d=5+6d,
由a3,a6,a10成等比数列得a62=a3 a10,
即(5+2d)2=(5-d)( 5+6d),
整理得10d2-5d=0,解得d=0,或d=.
当d=0时,a4=a1=5,an=5;
当时,
,
,
=
.
(2)当d=0时,
S10=10•a4=50.
当d=时,
a1=a4-3d=5-=
,
S10=10×+
×
=
.
解析
解:(1)设数列{an}的公差为d,则
a3=a4-d=5-d,a6=a4+2d=5+2d,a10=a4+6d=5+6d,
由a3,a6,a10成等比数列得a62=a3 a10,
即(5+2d)2=(5-d)( 5+6d),
整理得10d2-5d=0,解得d=0,或d=.
当d=0时,a4=a1=5,an=5;
当时,
,
,
=
.
(2)当d=0时,
S10=10•a4=50.
当d=时,
a1=a4-3d=5-=
,
S10=10×+
×
=
.
在等差数列{an}中,a1+a2+a3=0,a4+a5+a6=18,则数列{an}的通项公式为______.
正确答案
an=2n-4
解析
解:设公差为d.
因为a1+a2+a3=0,可得3a2=0⇒a2=0 ①
又∵a4+a5+a6=18可得3a5=18⇒a5=6 ②
由①②得,3d=6⇒d=2
∴a1=a2-d=0-2=-2.
∴an=a1+(n-1)d=-2+(n-1)×2=2n-4.
故答案为:an=2n-4.
一个凸n边形,各内角的度数成等差数列,公差为10°,最小内角为100°,则边数n=______.
正确答案
8
解析
解:由等差数列的求和公式和多边形的内角和公式可得
100n+×10=(n-2)×180,
化简可得n2-17n+72=0,即(n-8)(n-9)=0
解得n=8或n=9
当n=9时,最大内角为100°+8×10°=180°,
不满足多边形为凸n边形,应舍去,
故答案为:8
已知函数
(1)求;
(2)已知数列{an}满足a1=2,an+1=F(an),求数列{an}的通项公式;
(3) 求证:a1a2a3…an>.
正确答案
解:(1)因为,
所以由倒序相加可得:2[]
=[F()+F(
)]+…+[F(
)+F(
)]
=3×2010=6030,
则=3015;
(2)由an+1=F(an),两边同时减去1,得,
所以,
故是以2为公差、1为首项得等差数列.
所以,由此
(3)因为(2n)2>(2n)2-1=(2n+1)(2n-1),
所以,于是
所以
>.
解析
解:(1)因为,
所以由倒序相加可得:2[]
=[F()+F(
)]+…+[F(
)+F(
)]
=3×2010=6030,
则=3015;
(2)由an+1=F(an),两边同时减去1,得,
所以,
故是以2为公差、1为首项得等差数列.
所以,由此
(3)因为(2n)2>(2n)2-1=(2n+1)(2n-1),
所以,于是
所以
>.
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